Cirklar
I tidigare avsnitt har vi lärt oss om vinklar och två typer av vanliga geometriska figurer: fyrhörningar och trianglar (trehörningar).
I det här avsnittet ska vi gå igenom en annan viktig typ av geometrisk figur, nämligen cirklar. Vi kommer bland annat att lära oss hur vi kan beskriva en cirkel, vad talet pi är för något och hur vi beräknar en cirkels omkrets och area.
Radie och diameter
En cirkel är en rund geometrisk figur som utgår från en medelpunkt. På ett visst avstånd från medelpunkten finns vad som ibland kallas cirkelns periferi, vilket är den rundade kurva som bildar själva cirkelns form. Avståndet från medelpunkten till periferin kallas cirkelns radie (r) och är lika stort oavsett vilken punkt på periferin vi väljer.
Om vi har en rät linje som går mellan två punkter på en cirkels periferi och som passar genom medelpunkten, så kallar vi den sträckan cirkelns diameter (d).
I figuren här nedanför är både radien r och diametern d markerade.
En cirkels diameter är alltid dubbelt så lång som cirkelns radie:
$$ d=2r$$
Cirklars omkrets och talet pi (π)
När vi undersökte omkretsen för fyrhörningar och trianglar, kom vi fram till att dessa figurers omkrets är lika med summan av sidornas längd.
Men när vi studerar cirklar är det inte lika enkelt att beräkna omkretsen. Om vi mäter olika cirklars omkrets och diametrar, så märker vi snart att vi får samma kvot varje gång när vi dividerar en cirkels omkrets, O, och cirkelns diameter, d.
Den här kvoten är densamma för alla cirklar och har det ungefärliga värdet 3,14159265, när vi avrundar värdet till åtta decimaler. Det här talet är mycket viktigt inom matematiken och kallas för talet pi, efter den grekiska bokstaven π. Kvoten mellan en cirkels omkrets och diameter är alltså
$$ \frac{cirkelns\,omkrets}{cirkelns\,diameter}=\pi\approx3,14$$
Med hjälp av definitionen av talet π kan vi skriva en formel för en cirkels omkrets, O:
$$omkretsen=\pi\cdot diametern$$
$$O=\pi\cdot d$$
Eftersom en cirkels diameter d alltid är dubbelt så lång som cirkelns radie r, kan vi även skriva formeln för cirkelns omkrets med hjälp av radien, så här:
$$omkretsen=2\cdot\pi\cdot radien$$
$$O=2\pi r$$
Hur stor är diametern och omkretsen?
En cirkel har radien 4 cm.
Beräkna cirkelns diameter och omkrets. Avrunda till en decimal.
Lösningsförslag:
En cirkels diameter är dubbelt så stor som dess radie. Därför är cirkelns diameter 8 cm.
Vi beräknar nu cirkelns omkrets enligt formeln:
$$ O=\pi\cdot d=\pi\cdot 8\,cm=8\pi\,cm\approx 25,1\,cm$$
Diametern är alltså 8 cm och omkretsen är ungefär 25,1 cm.
Cirklars area
Vi ska nu lära oss hur vi beräknar en cirkels area.
Om vi har en cirkel med radien r och placerar den inuti en kvadrat, så får vi en figur som ser ut så här:
Beräknar vi kvadratens area, så vet vi från avsnittet om fyrhörningar att den blir följande:
$$ {A}_{kvadrat}=sidan\cdot sidan=2r\cdot 2r=4\cdot r\cdot r=4r^2$$
Vi kan se det som att den här kvadraten består av fyra jämnstora små kvadrater med sidan r. Som vi ser i figuren måste cirkelns area vara mindre än den stora kvadratens area.
I själva verket är cirkelns area lite drygt tre gånger så stor som arean av de små kvadraterna, som vi markerade i figuren. Närmare bestämt är cirkelns area π gånger större än de små kvadraternas area:
$$ {A}_{cirkel}=\pi\cdot r\cdot r=\pi {r}^{2}$$
Den här formeln för en cirkels area kan vi använda för alla cirklar. Eftersom talet π alltid har samma värde (det är en konstant), beror en cirkels area bara på cirkelns radie.
Cirkelns area
En cirkel har radien 4 cm.
Beräkna cirkelns area. Avrunda till en decimal.
Lösningsförslag:
Vi använder oss av formeln för en cirkels area:
$$ A=\pi\cdot {r}^{2}=\pi\cdot {4}^{2}\,{cm}^{2}=16\pi\,{cm}^{2}\approx 50,3\,{cm}^{2}$$
Cirkelns area är alltså ungefär 50,3 cm2.
Cirkelsektor
I årskurs 7 kom vi i avsnittet om vinklar fram till att ett helt varv motsvarar 360°.
Ibland kan vi vilja undersöka delar av en hel cirkel i form av "tårtbitar", så som vi visar i figuren här nedanför:
Denna typ av "tårtbitsformad" del av en cirkel kallar vi en cirkelsektor. Hur stor en cirkelsektor är beror på vinkeln i mitten av cirkeln, som vi kallar medelpunktsvinkeln.
Vi kan skriva en formel för en cirkelsektors area, där medelpunktsvinkeln betecknas v, så här:
$$ {A}_{cirkelsektor}=\frac{v}{{360}^{\circ}}\cdot\pi {r}^{2}$$
Om vi till exempel vill beräkna arean av en cirkelsektor som har medelpunktsvinkeln v = 90°, så får vi denna area med hjälp av formeln:
$$ {A}_{cirkelsektor}=\frac{{90}^{\circ}}{{360}^{\circ}}\cdot\pi {r}^{2}=\frac{1}{4}\cdot\pi {r}^{2}$$
Vad vi kom fram till här är att en cirkelsektor som har medelpunktsvinkeln v = 90° har en area som är en fjärdedel så stor som hela cirkelns area. Det här hade vi även kunnat komma fram till genom att 90° är samma sak som ett fjärdedels varv.
Hur stor är arean?
En cirkel har radien 10 cm. I cirkeln finns en cirkelsektor med medelpunktsvinkeln 60°.
Beräkna cirkelsektorns area. Avrunda till en decimal.
Hur stor andel av hela cirkelns area utgör cirkelsektorns area?
Lösningsförslag:
Vi känner till både cirkelns radie och cirkelsektorns medelpunktsvinkel. Därför kan vi beräkna områdets area genom att använda oss av formeln för en cirkelsektors area:
$${A}_{cirkelsektor}={\color{Blue}{ \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}}} \cdot {\color{Red} {\pi \cdot 10^{2}}}\,{cm}^{2}= $$
$$={\color{Blue}{ \frac{1}{6}}}\cdot {\color{Red} {100\cdot\pi}}\,{cm}^{2}\approx52,4\,{cm}^{2}$$
Cirkelsektorns area är alltså ungefär 52,4 cm2.
Medelpunktsvinkeln 60° utgör en sjättedel av ett helt varv (360°). Det innebär också att vår cirkelsektors area utgör andelen en sjättedel av den hela cirkelns area.
Videolektioner
Här går vi igenom cirklar.
Här går vi igenom cirkelns omkrets.
Här går vi igenom cirkelns area.
Här går vi igenom cirkelbåge och cirkelsektor.
I den här videon går vi igenom cirklar.