Matematisk problemlösning
1. Vad är \( (1,7 \cdot 10^5) \cdot (3,3 \cdot 10^3) \)?
- \(3,21 \cdot 10^8 \)
- \(5,61 \cdot 10^8 \)
- \(3,21 \cdot 10^{15} \)
- \(5,61 \cdot 10^{15} \)
\( (1,7\cdot10^5)\cdot (3,3\cdot10^3)=1,7\cdot3,3\cdot10^5\cdot10^3=5,61\cdot10^{5+3}=5,61\cdot10^8 \)
Svar: B
2. Medelvärdet av x och y är 3. Medelvärdet av y och 1 är 5. Vilket värde har x?
- -5
- -3
- 0
- 15
Beräkna först y:
(1+y)/2 = 5 ger att y=9.
Beräkna sedan x:
(x+y)/2 = (x+9)/2 = 3 ger att x = -3
Svar: B
3. x > 1
Vilket svarsalternativ motsvarar \( (x^7)^{y +2}\)?
- \( x^{y + 9} \)
- \( x^{7y + 2} \)
- \( x^{7y + 14} \)
- \( x^{y + 49} \)
Enligt räkneregeln \( (x^a)^b = x^{ab} \) får man:
\( (x^7)^{y+2} = x^{7(y+2)}=x^{7y+14}\)
Svar: C
4. \( f(x) = \frac{x}{2} - 1 \)
Vilket svarsalternativ visar grafen till f?
\( f(x) = \frac{x}{2} -1 \) anger en rät linje på formen f(x)=kx+m
k=1/2 är lutningskoefficienten och m = -1 är linjens skärning med y-axeln.
Linje C och D skär y-axeln vid y = -1. Övriga två linjer stämmer ej.
Linje C har rätt lutning:
\( k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0 - (-1)}{2 - 0} =\frac{1}{2} \)
Svar: C
5. \( a \neq 0, b \neq 0, x \neq 0, y \neq 0\)
Vilket svarsalternativ är med säkerhet lika med b om \( \frac{6x}{y} = \frac{3a}{2b} \)
- \( \frac{y}{2} \)
- \( \frac{ay}{4x} \)
- \( \frac{4ay}{x} \)
- \( \frac{9ay}{x} \)
Lös ut b i ekvationen:
\(\frac{6x}{ y}= \frac{3a}{2b} \)
Multiplicera med 2by i båda led:
\( \frac{6x\cdot 2by}{y}= \frac{3a\cdot2by}{2b} \)
Förkorta:
12bx=3ay
Dividera med 12x i båda led:
\( \frac{12bx}{12x}= \frac{3ay}{12x} \)
Förkorta:
b=ay4x
Svar: B
6. Hur stor är vinkeln v?
- \(130^\circ\)
- \(145^\circ\)
- \(150^\circ\)
- \(160^\circ\)
I den högra deltriangeln är vinklarna \( 90^\circ \), 5x och \( 40^\circ \) (den sista är supplementvinkel till \( 140^\circ \), dvs 40=180-140).
Man kan då räkna ut värdet på x genom triangelsumman:
5x+90+40=180
5x=50
x=10
I den vänstra deltriangeln är vinklarna \( 90^\circ \), 4x = \( 40^\circ \) och 180-v.
Triangelsumman är \( 180^\circ \). Alltså:
90+40+180-v=180
v=90+40=130
Svar: A
7.
\( x \neq 0 \)
\( y \neq 0 \)
\( \frac{x^2}{y} + 2 = 2- (-x) \)
Vilket svarsalternativ är med säkerhet korrekt?
- x + y = 2
- x < y
- x = y
- x > y
\[ \begin{align*} x^2/y +2 &= 2-(-x) \\ \Leftrightarrow x^2/y +2 -2 &= 2-2 -(-x) \\ \Leftrightarrow x^2/y &= -(-x) \\ \Leftrightarrow x^2/y &= x \\ \Leftrightarrow x^2 &= xy \\ \Leftrightarrow x^2/x &= xy/x \\ \Leftrightarrow x &= y \\ \Leftrightarrow \end{align*} \]
Svar: C
8. Kalle är pappa till tre pojkar och en flicka. Idag är pojkarnas sammanlagda ålder lika med flickans ålder. Vad är differensen mellan pojkarnas sammanlagda ålder och flickans ålder om tre år?
- 0 år
- 3 år
- 6 år
- 9 år
Efter 3 år har pojkarnas sammanlagda ålder ökat med 3 * 3 =9 år och flickans med 3 år.
Det betyder att skillnaden mellan pojkarnas sammanlagda ålder är
9-3 = 6 år.
Svar: C
9. Hur många procent är 14,4 av 36?
- 35
- 40
- 45
- 50
\( 14,4/36 = 0,4 = 40 \% \)
Svar B
10. Punkten (a, a) ligger på linjen \( y = \frac{1}{2}x + 2\). Vilket värde har a?
- 0
- \( \frac{1}{2} \)
- 2
- 4
Punkten (a,a) ligger på linjen betyder:
\[ \begin{align*} a&=1/2a +2 \\ \Leftrightarrow 2a&=2(1/2\cdot a +2) \\ \Leftrightarrow 2a&=a +4 \\ \Leftrightarrow a&=4 \end{align*} \]
Svar: D
11. Ett geometriskt objekt kan delas upp i två kvadrater och två kvartscirklar, som figuren visar. Vilken omkrets har objektet?
- \((30 + 5\pi) \text{cm}\)
- \((40 + 5\pi) \text{cm}\)
- \((30 + 10\pi) \text{cm}\)
- \((40 + 10\pi) \text{cm}\)
11. Ett geometriskt objekt kan delas upp i två kvadrater och två kvartscirklar, som figuren visar. Vilken omkrets har objektet?
- \((30 + 5\pi) \text{cm}\)
- \((40 + 5\pi) \text{cm}\)
- \((30 + 10\pi) \text{cm}\)
- \((40 + 10\pi) \text{cm}\)
Varje kvartscirkel bidrar till omkretsen med \( 5+5\cdot 2\cdot \pi/4=5+5\cdot \pi/2 \)
Varje kvadrat bidrar till omkretsen med \( 2 \cdot 5 \) Total omkrets: \( 2 \cdot(5+5\cdot \pi/2) +2\cdot(2\cdot5) = 10+5\cdot \pi+20= 30+5\cdot \pi \)
Svar A
12. xy = 1
Vilket värde har uttrycket \( (x+y)^2 - (x -y)^2 \)?
- 0
- 1
- 2
- 4
\( \begin{align*} (x+y)^2- (x-y)^2 &= x^2 +2xy +y^2 -(x^2 -2xy +y^2) \\ &= x^2 +2xy +y^2 -x^2 +2xy -y^2 \\ &= 4xy \end{align*} \)
xy = 1 betyder att 4xy = 4(1) = 4.
Svar: D