Uttryck med potenser
I tidigare avsnitt har vi lärt oss hur vi tecknar uttryck med variabler och hur vi multiplicerar in tal i parenteser. Tidigare i årskurs 9 har vi även lärt oss att vi kan skriva upprepad multiplikation med hjälp av potenser.
I det här avsnittet ska vi se att vi kan ha nytta av potenser även när vi ska multiplicera variabler i uttryck.
Potenser - en kort repetition
En potens är ett sätt att skriva en upprepad multiplikation. Till exempel kan vi istället för att skriva
$$ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$$
använda oss av potensen
$$ {2}^{5}$$
I den här potensen är 2:an potensens bas och 5:an är potensens exponent. Basen säger oss vilket tal vi multiplicerar med sig självt, och exponenten säger oss hur många gånger vi ska multiplicera. I vårt exempel är det alltså 5 gånger som vi multiplicerar faktorn 2.
Vi kan även stöta på potenser där basen är en variabel, till exempel x. På motsvarande sätt som då basen är 2 kan vi därför skriva
$$ x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x={x}^{5}$$
Uttryck med potenser
Vi ska nu öva på att teckna och förenkla uttryck som innehåller potenser.
Förenkla uttrycken
$$a)\,\,x(3x+2) $$
$$b)\,\,3y(4+5y)$$
Lösningsförslag:
a)
Vi använder räkneregeln för multiplikation med parenteser och förenklar sedan uttrycket.
$$x(3x+2)=$$
$$=x\cdot 3x+x\cdot 2=$$
$$=3{x}^{2}+2x$$
Det uttryck vi fick är alltså ett annat sätt att skriva
$$ 3\cdot x\cdot x+2\cdot x$$
men vanligtvis använder vi potenser när vi har uttryck som innehåller den här typen av upprepad multiplikation.
b)
Även i det här fallet använder vi räkneregeln för att multiplicera in faktorn som står framför parentesen. Sedan förenklar vi uttrycket.
$$3y(4+5y)=$$
$$=3y\cdot 4+3y\cdot 5y=$$
$$=12y+15{y}^{2}=$$
$$=15{y}^{2}+12y$$
I det sista steget skrev vi om uttrycket, så att potenstermen med exponenten 2 står först, för vanligtvis skriver vi de potenstermer med högst exponent först.
Förenkla uttrycket
$$ (z+2)\cdot 4z+4z\cdot (2-z)$$
Det här uttrycket innehåller två parenteser. Eftersom vi inte kan förenkla uttrycken som står inom parenteserna, börjar vi med att multiplicera in 4z i respektive parentes. Sedan förenklar vi uttrycket som vanligt.
Vi kommer ihåg att det inte spelar någon roll i vilken ordning faktorerna står när vi ska multiplicera, så den första termen i uttryck kan vi skriva så här:
$$ (z+2)\cdot 4z=4z\cdot (z+2)$$
Vi förenklar nu det ursprungliga uttrycket så långt som möjligt:
$$4z\cdot (z+2)+4z\cdot (2-z)=$$
$$=4z\cdot z+4z\cdot 2+4z\cdot 2-4z\cdot z=$$
$$=4{z}^{2}+8z+8z-4{z}^{2}=$$
$$=16z$$
Det ursprungliga uttrycket visade sig alltså vara lika med 16z.
Teckna ett uttryck för rektangelns area
Basen i denna rektangel är 2x + 5 längdenheter och höjden är x längdenheter.
Teckna ett uttryck för rektangelns area. Beräkna sedan hur stor rektangelns area är om x = 10 meter.
Lösningsförslag:
Vi vet sedan tidigare att en rektangels area kan beräknas med formeln
$$ A=basen\cdot höjden$$
Vi använder denna formel och förenklar det uttryck vi får:
$$A=basen\cdot höjden=$$
$$=(2x+5)\cdot x=$$
$$=2{x}^{2}+5x$$
Rektangelns area är alltså 2x² + 5x areaenheter. Hur stor arean är beror alltså på vilket värde variabeln x har.
Om x = 10 meter får vi därför arean 250 m2 eftersom
$$A=2{x}^{2}+5x=$$
$$=2\cdot {10}^{2}+5\cdot 10=$$
$$=2\cdot 100+50=$$
$$=200+50=$$
$$=250\,{m}^{2}$$
Videolektioner
Här går vi igenom uttryck med potenser.