Uttryck med potenser

I tidigare avsnitt har vi lärt oss hur vi tecknar uttryck med variabler och hur vi multiplicerar in tal i parenteser. Tidigare i årskurs 9 har vi även lärt oss att vi kan skriva upprepad multiplikation med hjälp av potenser.

I det här avsnittet ska vi se att vi kan ha nytta av potenser även när vi ska multiplicera variabler i uttryck.

Potenser - en kort repetition

En potens är ett sätt att skriva en upprepad multiplikation. Till exempel kan vi istället för att skriva

$$ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$$

använda oss av potensen

$$ {2}^{5}$$

I den här potensen är 2:an potensens bas och 5:an är potensens exponent. Basen säger oss vilket tal vi multiplicerar med sig självt, och exponenten säger oss hur många gånger vi ska multiplicera. I vårt exempel är det alltså 5 gånger som vi multiplicerar faktorn 2.

Vi kan även stöta på potenser där basen är en variabel, till exempel x. På motsvarande sätt som då basen är 2 kan vi därför skriva

$$ x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x={x}^{5}$$

Uttryck med potenser

Vi ska nu öva på att teckna och förenkla uttryck som innehåller potenser.


Förenkla uttrycken

$$a)\,\,x(3x+2) $$

$$b)\,\,3y(4+5y)$$

Lösningsförslag:

a)

Vi använder räkneregeln för multiplikation med parenteser och förenklar sedan uttrycket.

$$x(3x+2)=$$

$$=x\cdot 3x+x\cdot 2=$$

$$=3{x}^{2}+2x$$

Det uttryck vi fick är alltså ett annat sätt att skriva

$$ 3\cdot x\cdot x+2\cdot x$$

men vanligtvis använder vi potenser när vi har uttryck som innehåller den här typen av upprepad multiplikation.

b)

Även i det här fallet använder vi räkneregeln för att multiplicera in faktorn som står framför parentesen. Sedan förenklar vi uttrycket.

$$3y(4+5y)=$$

$$=3y\cdot 4+3y\cdot 5y=$$

$$=12y+15{y}^{2}=$$

$$=15{y}^{2}+12y$$

I det sista steget skrev vi om uttrycket, så att potenstermen med exponenten 2 står först, för vanligtvis skriver vi de potenstermer med högst exponent först.


Förenkla uttrycket

$$ (z+2)\cdot 4z+4z\cdot (2-z)$$

Det här uttrycket innehåller två parenteser. Eftersom vi inte kan förenkla uttrycken som står inom parenteserna, börjar vi med att multiplicera in 4z i respektive parentes. Sedan förenklar vi uttrycket som vanligt.

Vi kommer ihåg att det inte spelar någon roll i vilken ordning faktorerna står när vi ska multiplicera, så den första termen i uttryck kan vi skriva så här:

$$ (z+2)\cdot 4z=4z\cdot (z+2)$$

Vi förenklar nu det ursprungliga uttrycket så långt som möjligt:

$$4z\cdot (z+2)+4z\cdot (2-z)=$$

$$=4z\cdot z+4z\cdot 2+4z\cdot 2-4z\cdot z=$$

$$=4{z}^{2}+8z+8z-4{z}^{2}=$$

$$=16z$$

Det ursprungliga uttrycket visade sig alltså vara lika med 16z.


Teckna ett uttryck för rektangelns area

Basen i denna rektangel är 2x + 5 längdenheter och höjden är x längdenheter.

Teckna ett uttryck för rektangelns area. Beräkna sedan hur stor rektangelns area är om x = 10 meter.

Lösningsförslag:

Vi vet sedan tidigare att en rektangels area kan beräknas med formeln

$$ A=basen\cdot höjden$$

Vi använder denna formel och förenklar det uttryck vi får:

$$A=basen\cdot höjden=$$

$$=(2x+5)\cdot x=$$

$$=2{x}^{2}+5x$$

Rektangelns area är alltså 2 + 5x areaenheter. Hur stor arean är beror alltså på vilket värde variabeln x har.

Om x = 10 meter får vi därför arean 250 m2 eftersom

$$A=2{x}^{2}+5x=$$

$$=2\cdot {10}^{2}+5\cdot 10=$$

$$=2\cdot 100+50=$$

$$=200+50=$$

$$=250\,{m}^{2}$$


Videolektioner

Här går vi igenom uttryck med potenser.

Har du en fråga du vill ställa om Uttryck med potenser? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se