Rotekvationer

Detta avsnitt ingår i matematik 2c.

En ekvation där vi har en variabel, till exempel x, i ett uttryck under ett rottecken kallas för en rotekvation. I det här avsnittet ska vi titta närmare på ekvationer av denna typ och vad vi behöver tänka på när vi löser dem.

Vi börjar med ett exempel på en rotekvation

$$3\sqrt{x}=9$$

När vi har en rotekvation löser vi den genom att skriva om ekvationen så att uttrycket under rottecknet står ensamt i det ena ledet och sedan kvadrerar vi båda leden.

På detta sätt får vi följande:

$$3\sqrt{x}=9$$

$$\sqrt{x}=\frac{9}{3}=3$$

$$\begin{pmatrix} \sqrt{x} \end{pmatrix}^{2}=\begin{pmatrix} 3 \end{pmatrix}^{2}$$

$$x=9$$

Falska rötter

När vi löser en rotekvation genom kvadrering får vi ibland ut så kallade falska rötter. Dessa framstår vid en första anblick som lösningar (rötter) till den ursprungliga ekvationen, men om vi testar att använda dem så visar det sig att de i själva verket inte utgör lösningar.

Därför är det viktigt att vi testar de lösningar som vi får då vi löser rotekvationer. Det gör vi genom att vi stoppar in de funna lösningarna i den ursprungliga rotekvationen och ser om likheten gäller med dessa värden, det vill säga att det vänstra ledet verkligen är lika det med högra ledet.

Vi testar den lösning som vi fick i det tidigare exemplet (x=9) i den givna ekvationen

$$3\sqrt{x}=9\Rightarrow 3\sqrt{9}=9$$

$$3\cdot3=9$$

$$9=9\Rightarrow \text{ Stämmer}$$

Mer komplicerade rotekvationer

Är det fler termer än "bara" variabeltermen (i vårt fall x) under rottecknet så gör vi på precis samma sätt som i vårt tidigare exempel. Vi börjar med att skriva om rotekvationen så att uttrycket under rottecknet hamnar ensamt i det ena ledet och sedan kvadrerar vi båda leden. Därefter löser vi ekvationen som vilken annan ekvation som helst.

Vi prövar det med följande exempel

$$\sqrt{2-x}=x$$

Vi börjar med att kvadrera båda leden och ser då att vi får en andragradsekvation

$$\sqrt{2-x}=x$$

$$\left ( \sqrt{2-x} \right )^{2}=x^{2}$$

$$2-x=x^{2}$$

$$x^{2}+x-2=0$$

Denna andragradsekvation står skriven på en form som gör att vi kan lösa den med hjälp av pq-formeln.

Med hjälp av pq-formeln får vi följande:

$$x^{2}+x-2=0$$

$$p=1$$

$$q=-2$$

$$x=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}-(-2)}=$$

$$=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}}=$$

$$=-\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}}=$$

$$=-\frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}$$

Vi hittar alltså två lösningar:

$$x_1=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1$$

$$x_2=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$

När vi nu har fått fram två lösningar, x = 1 respektive x = -2, måste vi testa dessa lösningar genom att använda dessa värden i den ursprungliga rotekvationen, för att se till att vi inte har fått fram några falska rötter.

Vi gör detta:

$$\begin{matrix} \sqrt{2-1}\overset{?}{=}1& \: och\: & \sqrt{2-\left ( -2 \right )}\overset{?}{=}-2\\ 1=1& &2\neq -2 \\ & & \text{ Fel! } \end{matrix}$$

Som vi kan se var det endast den ena roten, x = 1, som var en sann lösning till rotekvationen, medan x = -2 var en falsk rot. Därför förkastar vi x = -2 som en lösning till ekvationen. Det är viktigt att komma ihåg att alltid testa våra lösningar när vi har att göra med lösning av rotekvationer, så att vi sedan inte sitter där med falska rötter!