Uppgift 26
Anta att a, b och c är tre på varandra följande heltal där \(a < b < c\).
Undersök om uttrycket
$$\frac{a^2 + b^2 + c^2 − 2}{3}$$
alltid är ett heltal för alla sådana på varandra följande heltal \(a, b\) och \(c\).
Lösningsförslag
Eftersom vi ska visa att det är ett heltal måste täljaren vara delbart med 3, målet är att vi ska kunna bryta ut 3 från täljaren och dela bort det. Eftersom talen är på varandra följande heltal och \(a < b < c\) kan vi skriva om dem som \(a, a+1, a+2\) och sätta in i uttrycket, utveckla och förenkla.
$$\frac{a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 − 2}{3}=$$
$$=\frac{a^2 + a^2+2a+1 + a^2+4a+4 −2}{3} =$$
$$=\frac{3a^2 +6a+5 −2}{3}=\frac{3a^2 +6a+3}{3}=$$
$$=\frac{3(a^2 +2a+1)}{3}=a^2 +2a+1$$
Vi kunde bryta ut 3 från täljaren och dela bort det och därför stämma det att uttrycket alltid är ett heltal för alla sådana på varandra följande heltal \(a, b\) och \(c\).
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2c, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här.