Uppgift 5
a) I ett koordinatsystem finns punkten \(Q(1,0)\). Ge ett exempel på koordinaterna för punkten \(P\) om avståndet mellan \(P\) och \(Q\) är 5 längdenheter.
b) Mitt emellan punkterna \(A(\frac{1}{2},\frac{1}{4} )\) och \(B\) i ett koordinatsystem ligger
punkten \(M(1,\frac{3}{4})\).
Bestäm koordinaterna för punkten B.
Lösningsförslag
a) Eftersom det frågas efter "exempel på koordinater till \(P\)" vet vi att det kan finnas fler svar. Vi behöver att \(P(x,y)\) ska uppfylla avståndsformeln
$$5 = \sqrt{{(x-1)}^2+{y-0}^2} = \sqrt{{x-1}^2+y^2}$$
Några exempel på punkter som uppfyller det är \((1,5),(1,-5),(6,0),(-4,0)\).
b) Vi använder mittpunktsformeln och ställer upp ekvationer för att hitta punkten \(B(x,y)\) så den uppfyller följande:
\(x\)-koordinaten
$$1= \frac{\frac{1}{2}+x}{2}$$
$$2= \frac{1}{2}+x $$
$$x = \frac{3}{2}$$
\(y\)-koordinaten
$$\frac{3}{4} = \frac{\frac{1}{4}+y}{2}$$
$$\frac{6}{4} = \frac{1}{4}+y$$
$$y = \frac{5}{4}$$
Alltså är punkten \( B \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}\right) \)
Svar:
a) Exempelvis: \((1,5),(1,-5),(6,0),(-4,0)\) eller liknande som uppfyller avståndsformeln.
b) \( B \left(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}\right) \)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2c, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här.