Andra baser
Detta avsnitt ingår i matematik 2b och matematik 2c.
Hittills har vi bara gått igenom logaritmer med basen 10, men det går att definiera alla positiva tal som potenser av andra baser än 10 till exempel
$$9=3^{2}$$
$$16=2^{4}$$
Och eftersom vi kan skriva alla tal som potenser med andra baser så kan vi också skriva dem på andra logaritmer. På samma sätt som vi kan skriva tal på basen 10 som tiologaritmer så kan vi skriva potenser med basen 3 på trelogaritmer.
Definitionen för logaritmer med basen a ser ut som följer
$$y=a^{x}\Leftrightarrow \log_{a}(y)=x$$
Den här definitionen gäller även för tiologartimer
$$1000=10^{3}\Leftrightarrow \log_{10}(1000)=3$$
Eftersom tiologaritmen är en av de vanligaste logaritmerna som vi använder sig av så brukar vi av tradition skriva tiologaritmen som lg
$$\log_{10}(x)=\lg(x)$$
Samma logaritmlagar som gäller för tiologaritmer gäller självklart för alla logaritmer
$$1.\log_{a}(x\cdot y)=\log_{a}(x)+\log_{a}(y)$$
$$2.\log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a}(x)-\log_{a}(y)$$
$$3.\log_{a}\left(x^{y}\right)=y\cdot \log_{a}(x)$$
Vi avslutar avsnittet med några exempel hur vi kan använda olika baser.
Exempel 1: Beräkna \(\log_2 8\)
Lösning:
\(\log_2 8 \) är det tal som vi ska ta 2 upphöjt med för att få 8. Eftersom \(2^3 = 8 \) kan vi beräkna \(\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3\)
Exempel 2: Beräkna \(\log_5 25\)
Lösning:
\(\log_5 25\) är det tal som vi ska ta 5 upphöjt till för att få 25. Eftersom \(5^2=25\) får vi \(\log_5 25 = \log_5 5^2 = 2\)
Exempel 3: Beräkna \(7^{\log_7 3}\)
Lösning:
Som vi såg i tidigare exempel så blir \(\log_7 3\) det tal som vi ska ta 7 upphöjt till för att få 3, därför är \(7^{\log_7 3} = 3\)
Exempel 4: Lös ekvationen \(4^x = 11\)
Lösning: Det finns två sätt att lösa denna ekvation. Vi går igenom båda.
- \(4^x = 11\)
\(x = \log_4 11 \)
Detta är en exakt lösning, vissa digitala verktyg kan hantera andra baser än 10 på logaritmer och kan ge oss ett närmevärde. Om vi måste använda tiologaritmer så löser vi ekvationen så här, med lite hjälp av logaritmlagarna. - \(4^x = 11\)
vi applicerar \(\lg\) på båda leden
\(\lg 4^x = \lg 11\)
nu använder vi tredje logaritmlagen
\(x\cdot \lg 4 = \lg 11\)
\(x = \frac{\lg 11}{\lg 4}\)
detta går att slå i på de flesta digitala verktyg och vi får då
\(x \approx 1,72\)
Här går vi igenom logaritmer med olika baser.
Här går vi igenom logaritmer med olika baser med fler exempel.
Exempel med logaritmer för andra baser än tio.
- Logaritm: inversen till upphöjt till, så logaritmen av ett tal ger oss en exponent som svar.
- Potens: Ett tal som består av ett tal upphöjt till något anna, till exempel \(4^3, y^5\) eller på allmän form \(a^x\)
- Bas: Det tal som blir upphöjt till något i en potens. Exempelvis \(4^5\) , så är 4:an basen.
- Logaritm med bas a: \( \log_a x \) är en logaritm med basen \(a\), denna logaritm motsvarar det tal som vi ska ta \(a\) upphöjt till för att få talet \(x\).