Implikation och ekvivalens

För att vi ska kunna argumentera matematiskt och genomföra matematiska bevis, som vi kommer gå in på mer i nästa avsnitt, på ett effektivt sätt så kommer vi vilja ersätta många ord och förklarande text med symboler och tecken. Att argumentera och resonera matematiskt kallas matematisk logik och de logiska symboler som vi vill introducera nu är de för implikation ⇒ och ekvivalens ⇔. Först måste vi bekanta oss med matematiska påståenden, som vi kommer sätta pilarna mellan. Vi tittar på några exempel på påståenden nedan.  

”Det är tisdag idag”  

”Jag är 170cm lång”  

”Triangeln är likbent”  

”Himlen är blå” 

Påståenden är enligt definition något som kan vara sant eller falsk. Alltså något som inte är ett påstående skulle exempelvis vara ”Hallå!”, ”Vad heter du?” eller ”Tre gula bilar” eftersom de inte kan vara sant eller falskt. 

Om vi nu kopplar ihop två påståenden med en implikation får vi detta; 

”Om det regnar imorgon, så tar jag med ett paraply.” 

Det betyder om första händelsen inträffar ”det regnar imorgon”, så kommer även händelsen ”jag tar med ett paraply” att inträffa. Detta är en implikation, att det regnar implicerar att vi tar med oss paraplyet. Vi kan alltså ersätta formuleringen ”Om…, så…” med implikationspilen  ⇒ och då skriver vi så här:  

”Det regnar imorgon ⇒ jag tar med ett paraply”  

Den här meningen behöver inte vara sann, det kanske finns dagar där det regnar och vi glömmer paraplyet eller tar på oss en regnjacka istället, men i matematiken så måste implikationer alltid vara sanna, utan några undantag. Här är två exempel på en matematisk implikation som alltid gäller. 

”Idag är det tisdag ⇒ imorgon är det onsdag” 

”Triangeln har tre lika långa sidor ⇒ triangeln är liksidig” 

Symbolen för implikationen ska tolkas som ”Om påståendet till vänster om implikationen gäller, gäller även påståendet till höger.” 

Vi kan skriva implikationer åt andra hållet också, alltså använda pilen som pekar till vänster ⇐ och då ska implikationen tolkas som att ”Om påståendet till höger om implikationen gäller, gäller även påståendet till vänster.” 

Vad händer om implikationen är sann i båda riktningar? Jo, då får vi en ekvivalens. 

En ekvivalens motsvarar implikation i båda ritningar, alltså att det är sant i båda riktningar.  För att beskriva en ekvivalens används symbolen ⇔. 

Exempel 
"Figuren är en triangel   ⇔   Figurens vinkelsumma är 180°" 

Vi utläser ekvivalensen som ”Om en figur är en triangel, gäller att figuren har en vinkelsumma som är 180°. Och om figuren har en vinkelsumma på 180°, gäller även att figuren är en triangel.”  

Vi ska nu titta på några exempel där vi ska avgöra om implikationerna och ekvivalenterna gäller.  

”Per bor i Malmö ⇒ Per bor i Skåne” 
För att avgöra om implikationen gäller så måste vi undersöka om påståendet till vänster gäller medför att det till höger gäller. Om Per bor i Malmö, så gäller det även att Per bor i Skåne eftersom Malmö ligger i Skåne, därför kan vi dra slutsatsen att implikationen gäller. 

Vi tittar på ett matematiskt påstående som enbart består av ekvationer
$$x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$$
Om \(x\) i kvadrat blir 4 så medför det att \(x\) är 2 och -2. Så det är alltså inte alltid sant att vänstra påståendet medför att \(x = 2\) och därför stämmer inte implikationen alltid och därför gäller den inte.  

$$x^2 = 169 \Leftarrow x = 13$$
Nu är implikationen åt andra hållet och vi måste undersöka om påståendet till höger är sant medför att påståendet till vänster är sant. Så om det är sant att x är 13, så är det sant att \(x^2 = 169\) eftersom \(13^2 = 169\). Detta gör att implikationen gäller.  

”Figuren är en rektangel ⇐ Figuren är en kvadrat” 
Vi undersöker denna på samma sätt, om vår figur är en kvadrat så medför det är figuren även uppfyller kraven för att vara en rektangel, eftersom vinklarna är räta och motstående sidor är lika långa. Därför gäller implikationen.  

”Figuren har fyra lika långa sidor ⇔ figuren är en kvadrat ” 
För att denna ekvivalens ska gälla måste implikationen gälla åt båda håll. Om figuren är en kvadrat så är det sant att figuren har fyra lika långa sidor. Om vi går åt andra hållet och vår figur har fyra lika långa sidor som måste det inte alltid medföra att vi har en kvadrat, vi kan även ha figurer där vinklarna inte är räta som exempelvis en romb. Därför gäller inte ekvivalensen.  

”Idag är det torsdag ⇔ imorgon är det fredag” 
Om det är sant att idag är torsdag så medföljer det att morgondagen är en fredag. Åt andra hållet så får vi att om morgondagen är en fredag så medföljer det att idag är en torsdag. Vi kan dra slutsatsen att ekvivalensen gäller.  

Sammanfattning 

Implikation 
En implikation visar att om ett påstående gäller, leder det till att även ett annat påstående gäller. För att teckna en implikation används symbolen ⇒ som då ersätter ”om…, så…” 

Ekvivalens 
En ekvivalens motsvarar implikation i båda ritningar, alltså att det är sant i båda riktningar.  För att beskriva en ekvivalens används symbolen ⇔.