Uppgift 5

Två av ekvationerna A-E har reella lösningar. Vilka två?

A. \(x^2+3=1\)

B. \(x^2+6x-3=2\)

C. \(x^2=-9\)

D. \(x^2-4x+9=2\)

E. \((x-2)(x+2)=0\)

Lösningsförslag

Vi tittar på varje ekvation enskilt och ser om de har reella lösningar eller inte.

A. \(x^2+3=1 \implies x^2=-2\implies x=\pm\sqrt{-2}\)

Denna ekvation har inte reella lösningar.

B. \(x^2+6x-3=2\implies x^2+6x-5=0\)

Vi använder PQ-formeln för att undersöka om lösningarna är reella:

$$x=-\frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2+5}$$

Om diskriminanten är större än eller lika med 0 så har ekvationen reella lösningar.

$$\left(\frac{6}{2}\right)^2+5=3^2+5=9+5=14$$

Ekvationen har reella lösningar.

C. \(x^2=-9\implies x=\sqrt{-9}\)

Denna ekvation har inte reella lösningar.

D. \(x^2-4x+9=2\implies x^2-4x+7=0\)

Vi använder PQ-formeln för att undersöka om lösningarna är reella:

$$x=\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-7}$$

Om diskriminanten är större än eller lika med 0 så har ekvationen reella lösningar.

$$\left(\frac{4}{2}\right)^2-7=2^2-7=4-7=-3$$

Denna ekvation har alltså inga reella lösningar.

E. \((x-2)(x+2)=0\)

Här ser vi direkt att rötterna är \(x=2\) och \(x=-2\), alltså har denna ekvation reella lösningar.

Svar: Ekvation B och E har reella lösningar.

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.