Decimaltal

I detta avsnitt går vi igenom vad decimaltal är och visar vad siffrornas position har för värde i talet.

Ibland när man ska mäta något som inte är ett heltal till exempel när man mäter längden på en pinne och får svaret mellan \(2\) och \(3\) så behöver vi använda decimaltal för att kunna ange längden.

Decimaltal används både för positiva och negativa tal, till exempel då vi mäter temperaturen.

I Sverige använder vi kommatecken för att ange decimaltal. I miniräknare och andra digitala hjälpmedel används punkt i stället för kommatecken.

Det decimala talsystemet är ett positionssystem

Vårt talsystem består av tio siffror: \(0,\,1,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9\). Med hjälp av dessa siffror bygger vi upp olika tal. Varje siffra i ett tal är värd olika mycket beroende på siffrans position. Eftersom varje position kan anta \(10\) siffror så kan vi representera de olika positionerna med hjälp av basen \(10\). Om vi undersöker decimaltalet \(528,\,149\) är positionerna följande:

• Siffran \(5\) har position hundratal och är värd \(500\)
• Siffran \(2\) har position tiotal och är värd \(20\)
• Siffran \(8\) har position ental och är värd \(8\)
• Siffran \(1\) har position tiondel och är värd \(0,1\)
• Siffran \(4\) har position hundradel och är värd \(0,04\)
• Siffran \(9\) har position tusendel och är värd \(0,009\)

Vi kan skriva ett decimaltal med hjälp av positionerna enligt nedan:

$$528,149=5\cdot100+2\cdot10+8\cdot1+1\cdot 0,1+4\cdot 0,01+9\cdot 0,001$$

Vi kan också uttrycka talets \((528,149)\) decimaler på följande olika sätt:

• \(1\) tiondel, \(4\) hundradelar och \(9\) tusendelar
• \(14\) hundradelar och \(9\) tusendelar
• \(149\) tusendelar

Detta används ofta inom olika idrottsgrenar när man ska jämföra deltagarnas resultat. Exempelvis är rekordet på 100 meters löpning 9 och 58 hundradelars sekunder.

Förflyttning av decimaltecknet ändrar siffrors värde

Eftersom siffrans position avgör värdet så ändras värdet om vi multiplicerar eller dividerar ett decimaltal med \(10\), \(100\), \(1000\) osv.

När vi multiplicerar ett decimaltal med \(10\) så är det samma sak som att flytta kommatecknet ett steg åt höger.

$$12,46\cdot10 = 124,6$$

Om vi multiplicerar med \(100\) så får vi flytta kommatecknet två steg åt höger.

$$2,156\cdot100 = 215,6$$

Vi kan se att multiplikation med \(10\), \(100\), \(1000\) osv. flyttar kommatecknet åt höger med så många steg som antalet nollor vi multiplicerar med.

När vi dividerar ett decimaltal med \(10\) så är det samma sak som att flytta kommatecknet ett steg åt vänster i stället.

$$ \frac{312,4}{10}=31,24$$

Om vi dividerar med \(100\) så får vi flytta kommatecknet två steg åt vänster.

$$\frac{42,6}{100}=0,426$$

Vi kan se att division med \(10\), \(100\), \(1000\) osv. flyttar kommatecknet åt vänster med så många steg som antalet nollor vi dividerar med.

Tal i bråkform kan skrivas som decimaltal genom att täljaren divideras med nämnaren till exempel:

$$\frac{1}{2}=0,5$$

Ändlig decimalutveckling

Vissa rationella tal (bråk) som skrivs som decimaltal genom att man dividerar täljaren med nämnaren ger ett begränsat antal decimaler. Till exempel \(\frac{3}{4}=0,75\). När decimaldelen består av ett begränsat antal siffror så kallas det för en ändlig eller avslutad decimalutveckling.

Oändlig (periodisk) decimalutveckling

Det finns också bråk där kvoten bildar ett oändligt antal decimaler. Om decimalerna kommer tillbaka med regelbundenhet så kallas det för oändlig periodisk decimalutveckling. Till exempel:

$$\frac{41}{333}=0,123\,123\,123\,...$$

$$\frac{1}{3}=0,333\,333\,333\,...$$

Irrationella tal är decimaltal med oändlig (icke periodisk) decimalutveckling

Det finns även decimaltal som inte kan skrivas som kvoten mellan två heltal. Dessa tal kallas för irrationella tal. De kännetecknas av att de har en icke-periodisk oändlig decimalutveckling, till exempel \(\pi\) och \(\sqrt{7}\) är sådana tal:

$$\pi = 3,141592653589793234626433832...$$

$$\sqrt{7}=2,645751311...$$

Samband mellan bråkform och decimalform

Det kan vara bra att lära sig utantill följande samband mellan bråkform och decimalform:

• $$\frac{1}{2}=0,5$$
• $$\frac{1}{3}=0,333\,...$$
• $$\frac{1}{4}=0,25$$
• $$\frac{1}{5}=0,20$$
• $$\frac{1}{10}=0,1$$

Avrundningsregler

Ett decimaltal som består av många decimaler avrundas. När vi avrundar ett decimaltal får vi ett närmevärde med färre antal decimaler. För att markera att vi har avrundat talet så använder vi "\(\approx\)"-tecknet (läses cirka) i stället för "\(=\)"-tecknet (läses lika med).

Den siffra som står på den plats vi avrundar till kallas för avrundningssiffra. Ska ett tal avrundas till exempelvis två decimaler kallas den andra decimalen för avrundningssiffran. Det är då den tredje decimalen som bestämmer om avrundningssiffran ska ändras. Om den tredje decimalen är 0, 1, 2, 3 eller 4 behåller vi avrundningssiffran. Om den tredje decimalen är 5, 6, 7, 8 eller 9 ändrar vi avrundningssiffran uppåt.

Om talet \(0,164\) ska anges med två decimaler så får vi \(0,16\) eftersom den tredje siffran är \(4\). Om den ska anges med en decimal så får vi \(0,2\) eftersom den andra decimalen är \(6\).

Ibland vill man även avrunda decimaltal till heltal, tiotal, hundradelar, tiondelar osv. Exempelvis kan vi avrunda \(674,528\) till:

• Heltal: \(\approx675\) då siffran \(5\) som är tiondelar höjer siffran \(4\) uppåt.
• Tiotal: \(\approx670\) då entalssiffran \(4\) inte ska vara med och \(4\) höjer inte siffran \(7\).
• Tiondelar: \(\approx674,5\) då siffran \(2\) som är hundradelar inte höjer siffran \(5\).
• Hundradelar: \(\approx674,53\) då siffran \(8\) som är tusendelar höjer siffran \(2\) uppåt.

Gällande siffror

När vi räknar med avrundade decimaltal (närmevärden) gäller det att undersöka hur många gällande siffror talen har. Gällande siffror eller värdesiffror kallas de siffror som bidrar till noggrannheten i ett tal.

Följande regler och exempel visar hur man bestämmer antal gällande siffror:

1. Tal med siffror som inte är nollor är gällande, till exempel talet \(2,5\) har två gällande siffror.
2. Tal med nollor i slutet av ett tal är gällande, till exempel talet \(2,50\) har tre gällande siffror.
3. Nollor inuti ett tal är gällande, till exempel talet \(405\) har tre gällande siffror.
4. Nollor direkt efter decimaltecknet före en siffra räknas inte in när man räknar gällande siffror, till exempel \(0,004\) har endast en gällande siffra.
5. Nollor direkt före decimaltecknet räknas inte in när man räknar gällande siffror, till exempel \(0,3\) har endast en gällande siffra.
6. Nollor i slutet av ett tal kan vara gällande det bestäms från fall till fall, till exempel \(30\,000\) så beror antal gällande siffror på sammanhanget.

Sammanfattande regler för gällande siffror

Ett sätt att markera antalet gällande siffror är att skriva talet i grundpotensform. Alla siffror i faktorn före tiopotensen är gällande.

\(4,52\cdot10\) har därför tre gällande siffror och \(4,520\cdot10\) har fyra gällande siffror.

Vill man vara tydlig med antalet gällande siffror i ett tal, då är det alltså en god idé att skriva talet på grundpotensform.

Räkna med decimaltal som är avrundade

Vid addition och subtraktion av decimaltal gäller att decimaltalet med minst antal decimaler bestämmer hur många decimaler svaret ska ha. Exempelvis:

$$7,25+8,3=15,55\approx15,6$$

Här ser vi att första decimaltalet har två decimaler och andra decimaltalet har en decimal. Det är alltså andra termen som avgör hur många decimaler svaret ska ha, nämligen en decimal.

Vid multiplikation och division av decimaltal gäller det att decimaltalet med minst antal gällande siffror avgör hur många gällande siffror svaret ska ha. Exempelvis:

$$4,24\cdot8,1=34,344\approx34$$

Här ser vi att den första faktorn har tre gällande siffror och den andra faktorn har två gällande siffror. Det är alltså den andra faktorn som avgör hur många gällande siffror svaret ska ha, nämligen två gällande siffror.
För att behålla noggrannheten i slutresultatet är det viktigt att inte avrunda vid delberäkningar. Varje delresultat behöver innehålla minst \(4\) till \(5\) decimaler eller skrivas in som en uträkning i miniräknaren för att slutresultatet inte ska skilja sig så mycket.

Exempelvis:

Med delavrundning:
\(4,24\cdot8,1+5,39\cdot6,2\approx34+33=67\)

Utan delavrundning:
\(4,24\cdot8,1+5,39\cdot6,2=34,344+33,418=67,762\approx68\)

Vi ser att slutresultatet skiljer sig när vi gör delavrundningar. Därför ska vi avrunda bara på det sista uträkningen.

Använda decimaltecken vid klockangivelse

Klockan ovan visar \(8\) timmar och \(20\) minuter. Om vi ska ange klockan i digitalform blir det \(08:20\) eftersom den digitala klockan anges i formatet timmar : minuter.

Inom deltidsarbeten är det vanligt att man får betalt för de timmar man har jobbat. När man ska räkna ihop sina arbetade timmar är det viktigt att kunna omvandla från minuter till timmar.

Exempel:
Cecilia har arbetat dessa tider under en vecka:

För att kunna räkna ut hennes lön behöver vi räkna ihop hennes timmar. Då behöver vi skriva om minuterna till timmar. Vi vet att det går \(60\) minuter på en timme. För att översätta minuter till timmar så dividerar vi antalet minuter med \(60\). För måndagen får vi:

$$\texttt{8:30}\,= 8 \,\texttt{timmar och}\,30\,\texttt{minuter}= 8+\frac{30}{60}=8+0,5=8,5\,\texttt{h}$$

$$\texttt{14:30}\,= 14 \,\texttt{timmar och}\,30\,\texttt{minuter}= 14+\frac{30}{60}=14+0,5=14,5\,\texttt{h}$$

När vi har både tiderna angivet i samma enhet (h) så kan vi subtrahera dem för att kunna räkna ut hur många timmar hon har jobbat under den dagen. Vi får:

$$\texttt{Måndag:}\,14,5-8,5=6,0\texttt{h}$$

För tisdagen får vi:

$$\texttt{8:10}\,= 8 \,\texttt{timmar och}\,10\,\texttt{minuter}= 8+\frac{10}{60}=8+0,17=8,17\,\texttt{h}$$

$$\texttt{14:50}\,= 14 \,\texttt{timmar och}\,50\,\texttt{minuter}= 8+\frac{50}{60}=14+0,83=14,83\,\texttt{h}$$

$$\texttt{Tisdag:}\,14,83-8,17=6,66\texttt{h}$$

På samma sätt får vi för:

$$\texttt{Torsdag:}\,14,33-8,25=6,08\texttt{h}$$

$$\texttt{Fredag:}\,14,17-7,83=6,37\texttt{h}$$

$$\texttt{Söndag:}\,15,17-8,75=6,42\texttt{h}$$

Under veckan har hon jobbat: \(6,0+6,66+6,08+6,37+6,42=31,53\) h.

Om hennes lön är \(114\) kr per timme får hon:
\(114\cdot31,53=3594,42\approx3594\) kronor.

Det kan vara bra att lära sig utantill följande samband:

• 15 minuter = 0,25 h
• 30 minuter = 0,5 h
• 45 minuter = 0,75 h
• 6 minuter = 0,1 h