Sträckor och vinklar i koordinatsystem

Vi har tidigare gått igenom de trigonometriska funktionerna, tangens, sinus och cosinus. Vi träffade även på de inversa funktionerna, arcusfunktionerna. Tillsammans kunde dessa bestämma både avstånd och vinklar i trianglar.

I detta avsnitt ska vi tillämpa dessa begrepp i ett koordinatsystem samt introducera ett sätt att beräkna avstånd mellan två punkter i ett koordinatsystem och räkna vinklar i koordinatsystem.

Flera uppgifter i detta avsnitt behöver trigonometri för att lösas.

Pythagoras sats igen

Pythagoras sats har tidigare används för att beräkna sidor i rätvinkliga trianglar. Det visar sig att det även går att tillämpa Pythagoras sats i ett koordinatsystem. Vi repeterar först Pythagoras sats.

Satsen beskriver ett samband mellan sidorna i en rätvinklig triangel. För hypotenusan, \(c\), och kateterna \(a\) och \(b\) gäller det att

$$a^2+b^2=c^2$$

Med hjälp av Pythagoras sats och trigonometri kan vi beräkna både avstånd och vinklar i ett koordinatsystem.

Avstånd mellan punkter

Vi önskar beräkna avståndet mellan punkterna \(A=(1,\,1)\) och \(B=(4,\,5)\). För att göra detta ritar vi en rätvinklig triangel så att kateterna är parallella med \(x\)- respektive \(y\)-axlarna.

Detta ger upphov till en punkt \(C\) med koordinaterna \((4,\,1)\).

Vi ser att längden av sträckorna \(\color{Blue}{\text{AC}}\) och \(\color{Blue}{\text{BC}}\) kan beräknas med subtraktion:

$$\text{Sträckan}\;\color{Blue}{\text{AC}}=4-1=3$$

$$\text{Sträckan}\;\color{Blue}{\text{BC}}=5-1=4$$

Med Pythagoras sats får vi:

$$(AB)^2=(\color{Blue}{\text{AC}})^2+(\color{Blue}{\text{BC}})^2$$

$$(AB)^2=3^2+4^2=9+16=25$$

$$AB=5$$

Avståndet mellan A och B är alltså \(5\) längdenheter.

Observera att det vi beräknade här var skillnaden i A och B:s \(x\)-koordinater (sträckan AC) samt skillnaden i A och B:s \(y\)-koordinater (sträckan BC).

Rent allmänt kan avståndet mellan två punkter beskrivas som:

$$d=\sqrt{(∆x)^2+(∆y)^2}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

där \(d\) är avståndet mellan två punkter, \((x_1,\,y1)\) och \((x_2,\,y_2)\).
Formeln ovan är även känd som ”avståndsformeln”, dock är det inget annat än Pythagoras sats fast i ett koordinatsystem.

Räkneexempel

Vi ska bestämma avståndet mellan de två punkterna \(A=(100,\,205)\) och \(B=(380,\,405)\). Att rita ut en rätvinklig triangel likt tidigare kommer vara svårt för så stora tal.

I stället använder vi avståndsformeln. Detta ger:

$$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

$$d=\sqrt{(380-100)^2+(405-205)^2}$$

$$d=\sqrt{(280)^2+(200)^2}$$

$$d≈344,09$$

Avståndet mellan A och B är ungefär \(344\) längdenheter.

Observera att det inte spelar någon roll vilken punkt man väljer, bara man är konsekvent; man kan alltså lika gärna subtrahera \(x_1\) med \(x_2\) men då måste man även subtrahera \(y_1\) med \(y_2\):

$$d=\sqrt{(100-380)^2+(205-405)^2}$$

$$d=\sqrt{(-280)^2+(-200)^2}$$

Men negativa tal multiplicerade med negativa tal blir positivt:

$$d=\sqrt{280^2+200^2}$$

$$d≈344,09$$

Vinklar i koordinatsystem

Då man ritar en rät linje i ett koordinatsystem får man \(4\) olika vinklar mellan den räta linjen och y-axeln respektive x-axeln, vilket ger totalt \(8\) vinklar. Ibland är skärningspunkten mellan linjen och x- och y-axlarna lätt att läsa av, som i exemplet nedan. Ibland skär linjen bara x-axeln eller y-axeln. Det sker om linjen är parallell med x- eller y-axeln.

Vi räknar ut den spetsiga vinkeln v genom att läsa av skärningspunkterna som bildas mellan linjen och y- och x-axlarna och får \(tan v=1/3\) (motstående katet/närliggande katet). Närliggande katet är \(3\) då det är en sträcka vi ska ange vilket alltid är positivt. Vi får \(v=arctan\frac{1}{3}≈18°\).

Räkneexempel

En linje \(y=-6x+5\) skär x-axeln. Bestäm de två trubbiga vinklarna mellan linjen och x-axeln

Lösning:

$$y=-6x+5$$

Då \(x=0\) är \(y=5\)

Då \(y=0\) är \(x=\frac{5}{6}\)

Linjen bildar med x- och y-axlarna en rätvinklig triangel. Vi räknar ut den spetsiga vinkeln kallad v mot x-axeln.

Vi får \(tan v=\frac{5}{5/6}=6\) (motstående katet/närliggande katet)

$$v= arctan 6 = 80°$$

Den ena trubbiga vinkeln mellan linjen och x-axeln är \(180°-80°=100°\)

Den andra trubbiga vinkeln är också \(=100°\) då de trubbiga vinklarna är vertikalvinklar och därför lika stora.

Svar: De trubbiga vinklarna mellan linjen och x-axeln (=100°)