Om alla punkter på en graf ligger på en rak linje kallas den
linjär. Grafen beskriver då en linjär funktion.
Till exempel:
Värdet på y är beroende av vad vi sätter in på x som vi såg i
avsnittet om funktionsbegrepp. Om till exempel x
= 2, så blir y = 7 (2+ 5). Om x = 5, så blir y = 10 (5 + 5). Sätter
vi in olika värden på x så kan vi tydligt se sambandet i en
värdetabell.
|
x-värde
|
y-värde
|
|
1
|
6
|
|
2
|
7
|
|
3
|
8
|
|
4
|
9
|
En linjär funktion är en funktion som har en struktur enligt:
Ovanstående formel kallas för räta linjens ekvation.
Alla funktioner med samma uppbyggnad bildar en graf i form av en
rät linje. Om k = 1 så betyder det 1 • x, vilket är detsamma som
x.
Vi har redan sagt att x och y är variabler. Beroende på x, så
förändrats värdet på y. Vad innebär då k och m?
k kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen.
Ett positivt k-värde ger en linje som lutar åt höger och ger en
uppförsbacke, medan ett negativt k-värde ger en linje som lutar åt
vänster och formar en nedförsbacke.
Om k = 0 så har kurvan ingen lutning alls utan den kommer att gå
parallellt med x-axeln. (Notera att om k = 0 så kommer det heller
inte finnas något specifikt x-värde).
m är en konstant term, som bestämmer var linjen skär y-axeln. Om
m-värdet är positivt så kommer linjen att skära y-axeln ovanför
origo, och om det är negativt kommer skärningen gå under origo. Om
m = 0 så brukar man inte skriva ut något m-värde och då kommer
linjen gå genom origo.
Vi ser ovan att vår funktion har k = 1 och vi kan också
identifiera m-värdet som 5. Linjen kommer då att skära y-axeln i
punkten (0,5).
Att en ekvation är linjär innebär bland annat att om vi tar två
punkter, drar ett streck mellan dem, så vet vi att linjen kommer
att fortsätta likadant både före och efter. Vi kan börja med
punkten (0,5), det vill säga där linjen skär y-axeln. Därefter tar
vi ytterligare en punkt. Vi kan till exempel välja den sista
punkten i tabellen, och därefter binda samma punkterna med ett
streck:
Vi kan sedan dra ut linjen både före och efter punkterna och få
den linje som definieras av funktionen y = x + 5:
Om funktionen saknar m-värde (det vill säga att dess m-värde är
noll) kan den skrivas som
Detta kallas för en proportionalitet.