Linjära funktioner

I det förra avsnittet bekantade vi oss med funktionsbegreppet och såg hur det kunde användas för att beskriva samband mellan variabler. I det här avsnittet ska vi lära oss om en mycket vanlig typ av funktion, som kan användas för att beskriva många olika situationer.

Om alla punkter som ingår i en funktions graf hamnar längs en rak linje då grafen ritas ut i ett koordinatsystem, kallar vi funktionen en linjär funktion.

Ett exempel på en enkel linjär funktion har vi här:

Funktionsvärdet (värdet på y) är beroende av vad vi sätter in för värde på x.

Om vi till exempel har x = 2, så blir y = 2 + 5 = 7. Om x = 5, så blir y = 5 + 5 = 10.

Sätter vi in olika värden på x, så kan vi tydligt se sambandet i en värdetabell:

Räta linjens ekvation

En linjär funktion är en funktion som har en struktur enligt:

där x och y är variabler, och k och m är konstanter som avgör sambandet mellan variablerna.

Ovanstående formel kallas för räta linjens ekvation. Varje funktion med denna typ av uppbyggnad bildar en graf som kan avbildas i form av en rät linje.

Om k = 1 så betyder det 1 • x, vilket är detsamma som x. Alltså:

Vi har redan sagt att x och y är variabler. Beroende på värdet på x, så förändrats värdet på y (funktionsvärdet). Vad innebär då konstanterna k och m?

k kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen.

Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, vilket innebär att funktionsvärdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln.

Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger, att funktionsvärdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln.

Om k = 0 så har kurvan en horisontell lutning och kurvan ligger därför parallellt med x-axeln. (Notera att om k = 0, så kommer inte funktionsvärdet att vara beroende av värdet på den oberoende variabeln - funktionsvärdet kommer i det här fallet att vara detsamma, konstant, oavsett den oberoende variabelns värde.)

m kallas konstantterm och bestämmer var linjen skär y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där x = 0, alltså där linjen skär y-axeln.

Om m-värdet är positivt, så kommer linjen att skära y-axeln ovanför origo, och om m-värdet är negativt, så kommer skärningen att gå under origo. Om m = 0, så brukar man inte skriva ut något m-värde och då kommer linjen att gå genom origo (alltså punkten (0, 0)).

Vi ser ovan att vår exempelfunktion har k = 1 och vi kan också identifiera m-värdet som 5. Linjen som bildas då vi ritar in funktionens graf i ett koordinatsystem kommer då att skära y-axeln i punkten (0, 5), det vill säga den punkt där x = 0 och y = 5.

Skissa linjära funktioners grafer

Att en ekvation är linjär innebär bland annat att om vi tar två punkter, drar en linje mellan dem, så vet vi att linjen kommer att fortsätta likadant både före och efter respektive punkt. Vi kan utifrån vårt tidigare exempel börja med punkten (0, 5), det vill säga där linjen skär y-axeln. Därefter tar vi ytterligare en punkt. Vi kan till exempel välja den sista punkten i värdetabellen, och därefter binda samma de båda punkterna med hjälp av en linje:

Vi kan sedan dra ut linjen både före och efter punkterna, och därigenom få hela den linje som definieras av funktionen y(x) = x + 5:

Om funktionen saknar m-värde (det vill säga att dess m-värde är noll) kan den skrivas som

Detta specialfall av en linjär funktion kallas för en proportionalitet. Vi har tidigare stött på ett exempel på en proportionalitet, i exemplet där vi beskrev Annas intjänade lön som en funktion av hur många timmar hon arbetat. Hennes lön var i detta exempel proportionell mot hur många timmar hon arbetat.