Funktionsbegreppet

En funktion beskriver ett samband mellan två eller flera variabler. Om Anna jobbar extra på helgerna, får hon en timlön. Annas totala lön blir då en funktion av antalet timmar som hon jobbar.

Låt oss säga att Annas timlön är 80 kronor. För att beskriva hennes totala lön kan vi ställa upp följande funktion:

Där x är antalet timmar hon jobbar och y den lön hon får ut.

För varje värde på x, finns det exakt ett värde på y och det värdet beror på värdet av x. Därför kallas y för den beroende variabeln och x för den oberoende variabeln.

En funktion är ett samband, en regel. Den kan liknas vid en maskin, där man stoppar in ett värde i ena änden, x, och får ut ett annat värde i andra änden, y.

För att visa att y verkligen beror av x brukar man skriva

Detta utläses som att y är en funktion av x, eller kort, y av x. I vårt exempel skulle detta se ut som

Man brukar använda beteckningen f(x) för de flesta funktioner.

En funktion kan beskrivas på ett flertal sätt.

Det vi tidigare har sett är beskrivning med hjälp av en formel som i fallet här ovanför med Annas lön som kunde beskrivas med funktionen

Vi kan också uttrycka funktionen med hjälp av ord. Vårt exempel blir då att funktionen för den totala lönen fås av att multiplicera timlönen, 80 kronor, med antalet timmar Anna arbetar.

Man kan också beskriva funktionen med hjälp av en värdetabell:

En funktion kan också beskrivas som en graf som för vår funktion ser ut så här:

Definitionsmängd och värdemängd

Om vi tittar vidare på funktionen som beskriver Annas lön så ser vi att vi kan stoppa in negativa värden på x och få ett y-värde (x = -1 ger y = -80), men vad betyder det att arbeta ett negativt antal timmar? Skulle inte det innebära att du förlorade 80 kronor för varje timme du inte jobbar och så ser inte riktigt arbetsmarknaden ut idag.

Vi kan konstatera att för att funktionen

Ska gälla för att beskriva Annas lön så kan vi inte räkna med negativa värden på x, x måste alltså vara större än eller lika med 0. Du kan inte heller inte jobba hur mycket som helst under en begränsad tid. Normalt arbetar man inte mer än 40 timmar per vecka.

Det här betyder att det enbart finns vissa värden på x där funktionen gäller eller som det heter är definierad. Man brukar kalla alla tillåtna x-värden för funktionens definitionsmängd. I fallet med Annas lön om vi tittar på 1 vecka så kommer definitionsmängden vara:

Varje värde på x-axeln motsvarar ett specifikt värde på y-axeln  och alla värden som ingår i definitionsmängden motsvaras av ett begränsat antal värden som y kan anta. Alla möjliga värden på y kallas för värdemängd.

I vårt fall är definitionsmängden alla tal mellan 0 och 40 vilket motsvara en värdemängd mellan 0 (80 ∙ 0) och 3200 (80 ∙ 40).

Det är viktigt att komma ihåg att när funktionen i fråga inte är en linjär funktion med positiv lutning behöver inte nödvändigtvis värdemängdens högsta och lägsta värde vara i samma punkter som definitionsmängdens största och minsta värde.