Ränta

När man ska spara pengar över en längre eller kortare tid kan man göra det av olika anledningar antingen för att man vill spara ihop pengar till en resa eller en egen bostad eller kanske pensionsspara så att man har något att leva av när man gått i pension.

Det finns olika sätt att spara pengar på. Man kan till exempel lägga dem i madrassen eller spara dem i en spargris. Ska man dock spara pengarna under en längre period som när det gällde pensionssparandet kan det vara en idé att sätta in dem på en sparkonto på banken. Eftersom bankerna behöver att folk sparar pengar hos dem för att de ska kunna låna (lån) ut pengar till andra så erbjuder de ofta ränta på de insatta pengarna. Ränta innebär att du får pengar av banken för att spara pengarna hos dem.

Räntan man får på kontot brukar oftast ges i procent där du får en viss procent för varje krona som du har insatt på kontot. Den procentsats kallas för räntesats och gäller ofta per år.

Om Charlie tillexempel har satt in 50 000 på ett konto i Mattecentrumbanken som hon har ärvt av sin morfar på ett konto där hon får 2 % ränta årligen så kommer pengarna på kontot att öka enligt tabellen nedan

År	Kapital	Ränta	Summa
1	50 000	50 000 ∙ 0,02 = 1000	51 000
2	51 000	51 000 ∙ 0,02 = 1020	52 020
3	52 020	52 020 ∙ 0,02 = 1040,40	53 060,40

Kapitalet på kontot kan beskrivas genom en exponentialfunktion.

$\\pengar\ efter\ x\ antal\ \aa r=startkapital\cdot f\ddot{o}r\ddot{a}ndningsfaktor^{x\ antal\ \aa r}\\$

Charlie har tänkt att spara pengarna i 10 år och kan redan nu räkna ut hur mycket hon kommer att ha då:

$\\50\ 000\cdot 1,02^{10}=60\ 949,72\ kr\\$

En annan variant till att sätta in en klumpsumma på en gång är att spara en mindra summa varje år. Thomas fyller snart 40 år och har tänkt börja pensionsspara. Han har tänkt spara 1000 kr om året och har hittat ett pensionsfondskonto som har en räntesats på 10 %. Det innebär att om han på sin födelsedag sätter in 1000 kr så kommer det varje år den 31 december att utgå en ränta på 10 % på pengarna som finns på kontot. Eftersom Thomas inte kommer röra pengarna förrän han fyller 65 år så kommer räntan varje år att även utgå på det som var förra årets ränta. Detta kallas att få ränta på ränta.

Om vi kallar året han fyller 40 för år 0 (eftersom det är då vi börjar) så får vi tabellen.

År	Pengar på kontot
0	1000
1	1000 ∙ 1,10 + 1000 = 2100
2	1000 ∙ 1,10² + 1000 ∙ 1,10¹ + 1000 = 3310
3	1000 ∙ 1,10³ 1000 ∙ 1,10² + 1000 ∙ 1,10¹ + 1000 =4641
4	1000 ∙ 1,10⁴ + 1000 ∙ 1,10³ 1000 ∙ 1,10² + 1000 ∙ 1,10¹ + 1000 = 6105,10
...

Pengarna på kontot följer en geometrisk talföljd där kvoten är förändringsfaktorn (räntesatsen) och a₁ är 1000 vilket var vad Thomas satte in på sin 40-årsdag.

Vi kan använda oss av formeln för en geometrisk summa för att ta reda på hur mycket pengar Thomas kommer att ha sparat ihop till fram till pensionen, dvs fram till sin 65-årsdag.

$\\S_{n}=\frac{a_{1}(k^{n}-1)}{k-1}$

Fram till 65-årsdagen är det 25 år (65 - 40 = 25) och vi får då:

$\\S_{25}=\frac{1000(1,1^{25}-1)}{1,1-1}\approx 98\,300\ kr\\$