Ränta

I tidigare avsnitt har vi räknat med procentuella förändringar och sett hur nya värden kan beräknas genom upprepade procentuella förändringar. I det här avsnittet ska vi titta närmare på en tillämpning av upprepade procentuella förändringar som de flesta människor träffar på i livet, nämligen ränta.

När man ska spara pengar över en längre eller kortare tidsperiod kan man göra det av olika anledningar: antingen för att man vill spara ihop pengar till en resa eller en egen bostad, eller kanske pensionsspara så att man har mer pengar att leva av den dag man går i pension.

Det finns olika sätt att spara pengar på. Man kan till exempel lägga dem i madrassen eller spara dem i en spargris. Ska man spara pengarna under en längre period, då kan det vara en bättre idé att sätta in dem på ett sparkonto hos en bank eller investera pengarna i någon annan form. Eftersom bankerna vill att folk sparar pengar hos dem, så att banken i sin tur kan låna ut pengar till andra, så erbjuder bankerna ofta ränta på de insatta pengarna. Ränta innebär att du får pengar av banken i utbyte mot att du sparar pengarna hos dem.

Räntan man får på kontot hos banken brukar oftast anges i procent, där du får en viss procent ränta per år på det kapital som du har insatt på kontot. Denna procentsats ränta kallas för räntesats.


Mattecentrumbanken

Om Charlie till exempel har satt in 50 000 kronor på ett konto i Mattecentrumbanken, där han får 2 % ränta årligen, så kommer pengarna på kontot att öka enligt tabellen nedan. I tabellen innebär år 0 det år Charlie sätter in pengarna och år 1 att hans pengarna har varit på kontot under ett helt år. Det är först då han börjar få ränta på sina pengar:

År Kapital (kr) Ränta (kr) Summa (kr)
0 50 000   50 000
1 50 000 50 000 ∙ 0,02 = 1 000 51 000
2 51 000 51 000 ∙ 0,02 = 1 020 52 020
3 52 020 52 020 ∙ 0,02 = 1 040,40 53 060,40

Kapitalet på kontot i exemplet ovan kan beskrivas genom användning av en exponentialfunktion:

$$pengar\ efter\ x\ antal\  år=startkapital\cdot förändningsfaktor^{x\ antal\ år}$$

Charlie har tänkt låta pengarna ligga orörda på kontot under 10 års tid och varje år låta den ränta han får gå in på kontot, utan att han gör några andra insättningar eller uttag. Han kan redan nu räkna ut hur mycket pengar han kan förvänta sig ha på kontot efter 10 år:

$$50\ 000\cdot 1,02^{10}=60\ 949,72\ kr$$

Hur mycket pengar Charlie har på kontot följer en geometrisk talföljd, där kvoten mellan ett års kapital och det föregående årets kapital är förändringsfaktorn, k, vilket alltid är konstant. I vårt exempel är k = 1,02 (det vill säga, 2 %, som är räntesatsen på kontot) och a1 är 50000, vilket var de pengar som Charlie ursprungligen satte in på sitt sparkonto. n är antalet år som pengarna totalt har varit på kontot, och då räknar vi med år 0.

Charlie valde att sätta in sina pengar på sparkontot som en klumpsumma (det vill säga, han gjorde en enda insättning). En annan variant på sparande på sparkonto vore att sätta in en mindre summa pengar på kontot till exempel varje månad eller år.


Thomas fyller snart 40 år och har tänkt börja pensionsspara.

Han har tänkt spara 1 000 kr om året och har hittat ett pensionsfondskonto som har en räntesats på 10 %. Det innebär att om han vid årets början sätter in 1 000 kr på kontot, så kommer det vid slutet av varje år att utgå en ränta på 10 % på pengarna som finns på kontot. Eftersom Thomas planerar att inte röra pengarna förrän han fyller 65 år, så kommer räntan varje år att även utgå på det som var förra årets ränta. Detta kallas att få ränta på ränta.

Om vi kallar året han fyller 40 för år 0 (eftersom det är då Thomas börjar sätta in pengar på kontot), så får vi följande tabell:

År Kapital på kontot (kr)
0 1 000 kr
1 1 000 ∙ 1,101 + 1 000 = 2 100 kr
2 1 000 ∙ 1,102 + 1 000 ∙ 1,101 + 1 000 = 3 310 kr
3 1 000 ∙ 1,103 + 1 000 ∙ 1,102 + 1 000 ∙ 1,101 + 1 000 = 4 641 kr
4 1 000 ∙ 1,104 + 1 000 ∙ 1,103 + 1 000 ∙ 1,102 + 1 000 ∙ 1,101 + 1 000 = 6 105,10 kr
...

I exemplet med Charlies sparande ovan kunde vi beskriva kapitalet han har på kontot som en geometrisk talföljd. I fallet med Thomas sparande är det dock annorlunda, eftersom han fortsätter att göra nya insättningar år efter år.

Det gör att vi istället kan beskriva kapitalet Thomas har på sitt konto som en geometrisk summa, vars formel vi har stött på i avsnittet om geometriska talföljder:

$$S_{n}=\frac{a_{1}(k^{n}-1)}{k-1}$$

där Sn är kapitalet i slutet av insättning n, a1 är hur mycket pengar Thomas sätter in på kontot varje år och k är förändringsfaktorn (i det här fallet 1,10, eftersom räntesatsen är 10 %).

Fram till Thomas 65-årsdag är det 65 - 40 = 25 år, och vi får då genom insättning i formeln:

$$S_{26}=\frac{1000(1,1^{26}-1)}{1,1-1}\approx 109180\ kr$$

Vi sammanfattar: Om Thomas sätter in 1 000 kr vid samma datum varje år på kontot under 25 år och får 10 % ränta, då kommer han efter 25 år att ha satt in 26 insättningar och kapitalet han har då är ungefär 109 180 kr.


Videolektioner

Här går vi igenom ränta, räntesats och hur vi räknar med det.

Här beräknar vi räntan på en summa pengar med hjälp av formeln för geometrisk summa.

Har du en fråga du vill ställa om Ränta? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!