Ränta

Priset man får betala för att låna pengar kallas för ränta. När man sparar pengar på banken så är det banken som betalar ränta till oss men om man lånar pengar av banken exempelvis för att köpa en bostad eller bil så är det banken som ska ha betalt för att vi får låna pengar av dem. Räntan bestäms med formeln:$$Ränta=Räntesats \cdot Lånebelopp$$

Om inget annat anges så menar man med räntesatsen årsräntan som anges i procent. Om räntesatsen är \(2,4\%\) så innebär det att man ska betala- eller få \(2,4\%\) varje år för de pengar man lånar av- eller lånar ut till banken så länge pengarna är lånade.

Exempel 1

Sofie ska köpa en lägenhet och behöver låna \(1\,000\,000\) kronor från banken. Bankens räntesats är \(2,4\%\). Hur mycket ska Sofie betala till banken:

a) per år

b) per kvartal

c) per månad?

Lösningsförslag:

a) Eftersom det inte står något specifikt så antar vi att räntesatsen är per år. Årsräntan får vi genom att bestämma \(2,4\%\) av \(1\,000\,000\) kronor enligt nedan: $$Årsränta=Räntesats\cdot Lånebelopp=$$$$=2,4\%\cdot 1\,000\,000=\frac{2,4}{100}\cdot1\,000\,000=$$$$=0,024\cdot1\,000\,000=24\,000\, \text{kronor}$$

b) Ett kvartal är \(\frac{1}{4}\) del av ett år. Kvartalsräntan får vi om vi dividerar årsräntan med fyra:$$Kvartalsränta=\frac{Årsränta}{4}=\frac{24\,000}{4}=6\,000\;\text{kronor}$$

c) Månadsräntan får vi om vi dividerar årsräntan med \(12\) eftersom det finns \(12\) månader på ett år. Vi får:$$Månadsränta=\frac{Årsränta}{12}=\frac{24\,000}{12}=2\,000\,\text{kronor}$$

Exempel 2

Leon har vunnit \(100\,000\) kronor på ett lotteri. Han vill spara pengarna på en bank. Han undersöker räntesatserna för två banker. Bank 1 ger räntesatsen \(3\%\) per år. Bank 2 ger räntesatsen \(0,5\%\) per månad. Vilken bank ska han välja?

Lösningsförslag:

Vi börjar med att undersöka hur mycket respektive bank ger i ränta:

Bank 1 ger:

$$Årsränta=Räntesats\cdot Lånebelopp=3\%\cdot100\,000=$$$$=\frac{3}{100}\cdot100\,000=0,03\cdot100\,000=3\;000\; \text{kronor}$$

Bank 2 ger:

$$Månadsränta=Räntesats\cdot Lånebelopp=0,5\%\cdot100\;000=$$$$=\frac{0,5}{100}\cdot100\,000=0,005\cdot100\,000=500\; \text{kronor}$$

För att kunna jämföra Bank 1 och Bank 2 så behöver vi antingen titta på månadsräntan- eller årsräntan för respektive bank.

Månadsräntan för Bank 1:

$$Månadsränta=\frac{Årsränta}{12}=\frac{3\,000}{12}=250\,\text{kronor}$$

För första månaden kommer Leon att få \(500\) kronor i ränta från Bank 2. Detta innebär att Bank 2 är bättre på månadsvisa jämförelsen. Om vi fortsätter att räkna så kan vi se hur mycket Leon får om han låter pengarna vara kvar på Bank 2 under ett år:

Efter första månaden så kommer Leon att ha \(100\,000+500=100\,500\) kronor.

För andra månaden kommer Leon få:

$$Månadsränta=Räntesats\cdot Lånebelopp=0,5\%\cdot100\,500=$$$$=\frac{0,5}{100}\cdot100\,500=0,005\cdot100\,000=502,5\;\text{kronor}$$

Efter andra månaden så kommer Leon att ha \(100\,500+502,5=101\,002,5\) kronor.

För tredje månaden kommer Leon få:

$$Månadsränta=Räntesats\cdot Lånebelopp=0,5\%\cdot101\;002,5=$$$$=\frac{0,5}{100}\cdot101\,002,5=0,005\cdot101\,002,5\approx505\;\text{kronor}$$

Efter tredje månaden så kommer Leon att ha \(101\,002,5+505=101\,507,5\) kronor.

För att slippa räkna de kvarvarande månaderna kan vi analysera de tre beräkningarna och försöka hitta ett samband för hur räntan kan bestämmas för \(x\) antal månader:

\(0,5\%\) ökning ger förändringsfaktorn: \(1+0,005=1,005\).

Om vi multiplicerar förändringsfaktorn med lånebeloppet kommer vi bestämma hur mycket Leon har efter första månaden: $$1,005\cdot100\,000=100\,500\;\text{kronor}$$

För att beräkna hur mycket pengarna har vuxit till efter andra månaden så multiplicerar vi detta värde med förändringsfaktorn igen: $$1,005\cdot100\,500=101\,002,5\;\text{kronor}$$

Istället för att fortsätta så här kan vi skriva om 100500 som 1,005∙100000. Detta ger oss:

$$1,005\cdot100\,500=1,005\cdot1,005\cdot100\,000=$$$$=1,005^2\cdot100\,000=101\,002,5\;\text{kronor}$$

För tredje månaden kommer Leons pengar växa till:

$$1,005\cdot1,005\cdot1,005\cdot100\,000=1,005^3\cdot100\,000=101\,507,5\;\text{kronor}$$

Vi ser att exponenten ökas för varje månad pengarna är lånade till banken. Om vi lånar ut \(x\) månader borde pengarna växa till:

$$1,005^x\cdot100\,000$$

Den här typen av tillväxt kallas för exponentiell tillväxt eller ”ränta på ränta” eftersom räntan man tjänat efter första perioden också får ränta i nästa period osv. Om vi ska räkna hur mycket Leons pengar har vuxit till efter ett år (\(12\) månader) så sätter vi \(x=12\) och får:

Årsränta för Bank 2 \(=1,005^{12}\cdot100\,000≈106\,168\) kronor

Svar: Bank 2 ger bättre ränta.