Heltal och naturliga tal

Tal förekommer i många olika sammanhang och deras gemensamma syfte är att representera olika storheter. Det finns flera olika typer av tal, talmängder, som är användbara för att beskriva olika saker. För att använda talmängderna på rätt sätt är det viktigt att veta talens egenskaper i respektive mängd. Det är också viktigt att vi människor är överens om hur vi räknar med talen, så vi menar samma sak.

Naturliga tal

Vad vi kallar naturliga tal är en typ av tal som har använts av människan sedan mycket lång tid.

De naturliga talen är alla heltal som är större än eller lika med noll: 0, 1, 2, 3, 4, …, alltså de positiva heltalen som vi normalt räknar med, som börjar med 1 och fortsätter mot större och större tal i all oändlighet, samt 0, som varken är positivt eller negativt men som generellt räknas till de naturliga talen.

Mängden av de naturliga talen betecknas med bokstaven \(\mathbb{N}\).

$$\mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,... \right \}$$

Heltal

Om vi tar alla de naturliga talen och även inkluderar alla de negativa heltalen, då får vi den mängd av tal som vi idag kallar för heltal. Heltalen fortsätter i all oändlighet åt såväl det positiva hållet som det negativa hållet.

Mängden av heltalen betecknas med bokstaven \(\mathbb{Z}\) (från tyskans ord Zahl, som betyder "antal").

$$\mathbb{Z}=\left \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... \right \}$$

Heltalens egenskaper

Nu ska vi gå igenom några av de viktiga egenskaperna som heltalen har. Dessa egenskaper kommer vi att hänvisa tillbaka till senare i kursavsnitten, då de är centrala för hur man får räkna med heltal.

Om a, b och c alla är heltal, gäller följande egenskaper:

Egenskap Addition Multiplikation
Slutenhet \(a+b\, är\, ett\, heltal\) \(ab\, är\, ett\, heltal\)
Associativitet \(a+(b+c)=(a+b)+c\) \(a(bc)=(ab)c\)
Kommutativitet \(a+b=b+a\) \(ab=ba\)
Distributivitet \(a(b+c)=ab+ac\) \(a(b+c)=ab+ac\)
Additiv invers \(a+(-a)=0\)  
Neutralt element \(a+0=a\) \(a \cdot 1=a\)
Inga nolldelare   om \(ab=0\) är \(a=0\), \(b=0\) eller båda

Dessa kallas för heltalens egenskaper (eller axiom) och är antaganden som man har gjort en gång i tiden och som all senare utvecklad matematik med heltal bygger vidare på.

Jämnt eller udda

Ett heltal är antingen jämnt eller udda. Till exempel är heltalen 0, 42 eller -42 är jämna heltal och heltalen 1, 17 eller -175 udda heltal.

Vi kan säga att ett heltal är jämnt om det är jämnt delbart med 2 och att ett heltal är udda om det inte är jämnt delbart med 2. Till exempel är heltalet 6 jämnt eftersom vi kan dela 6 med 2 utan att få en rest. Däremot är heltalet 7 udda eftersom vi inte kan dela 7 med 2 utan att få en rest.

Ett annat sätt att uttrycka detta är:

Ett jämnt tal definieras som ett heltal som kan skrivas på formen

$$2\cdot k$$

där k är ett heltal. Exempelvis kan vi sätta \(k\) till \(k = 3\) och få

$$2\cdot k= 2\cdot 3= 6$$

vilket är ett jämnt heltal.

Ett udda tal definieras som ett heltal som kan skrivas på formen

$$2\cdot k+1$$

där k är ett heltal. Exempelvis kan vi sätta \(k\) till \(k = 5\) och få

$$2\cdot k+1=2\cdot 5+1=10+1=11$$

vilket är ett udda heltal.

Genom att låta k anta olika heltalsvärden kan man få fram alla de jämna respektive de udda heltalen.

Rationella tal

Med rationella tal menar vi alla heltal och alla bråktal som kan skrivas på formen:

$$\frac{a}{b},\, b\neq 0$$

där a och b är heltal.

Exempel på rationella tal:

$$\\0, \;3, \;-17, \;\frac{13}{7}, \;2,4, \;-0,6$$

Mängden av de rationella talen betecknas med bokstaven \(\mathbb{Q}\).

$$\mathbb{Q}=\left \{ alla \; tal \; \frac{a}{b}, \; där \; alla \;a \;och \;b \;är \;heltal \;och \;b \neq 0 \right \} $$

Irrationella tal

Alla tal som inte kan skrivas som en kvot av två heltal kallas för irrationella tal.

Exempel till irrationella talen är bland annat \(\sqrt2\) (kvadratroten av ett kvadratfritt tal), \(\pi\) (pi) och talet \(e\) (talet \(e\) kommer vi att träffa på i en senare kurs).

Reella tal

De rationella talen tillsammans med de irrationella talen utgör de reella talen. Mängden av de reella talen betecknas med bokstaven \(\mathbb{R}\). Alla tal som vi kommer att träffa på i den här kursen hör till de reella talen.

Talmängderna tillsammans

Talmängderna beskriver olika typer av tal. Mängderna och talen hänger ihop på följande sätt:

De naturliga talen \(\mathbb{N}\) ingår i heltalen \(\mathbb{Z}\) som ingår i de rationella talen \(\mathbb{Q}\) som ingår i de reella talen \(\mathbb{R}\).

 Heltal och naturliga tal - Talmängder

Videolektioner

Här går vi igenom rationella tal och begreppen förlänga och förkorta.

Här förklarar vi skillnaden mellan rationella och irrationella tal.

Har du en fråga du vill ställa om Heltal och naturliga tal? Ställ den i Mattebokens forum!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!