Heltal och natuliga tal

En genomgång av heltalens ursprung finns att hitta här.

De naturliga talen är de tal som användes av människan. Det är alla tal 0, 1 , 2, 3, 4... som vi normalt räknar med och de fortsätter i all oändlighet. Man brukar beteckna de naturliga talen med N.

$\\N=\left \{ 0,1,2,3... \right \}\\$

Lägger man till alla negativa tal så får vi det som vi idag kallar för heltal. De fortsätter i all oändlighet i båda riktningar. Man brukar beteckna alla heltal med Z (från tyskans zahl som betyder antal)

$\\Z=\left \{ ...-3,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\, 3... \right \}\\$

Arkimedes axiom

Arkimedes axiom säger att om vi har två heltal a och b gäller antingen a < b eller a = b eller a > b. Det vill säga att om vi har två heltal är det ena antingen mindre än, lika med eller större än det andra.

Heltalens egenskaper

Om a och b är två heltal gäller att:

Egenskap	Addition	Multiplikation
Slutenhet	a + b är ett heltal	ab är ett heltal
Associativitet	a + (b + c) = (a + b)+c	a(bc) = (ab)c
Kommutativitet	a + b = b + a	ab = ba
Distributivitet		a(b + c) = ab + ac
Inversa element	a + (-a) = 0
Neutralt element	a + 0 = a	a * 1 = a

Dessa kallas för heltalens egenskaper (eller axiom) och är antaganden som man har gjort en gång i tiden och som all matematik bygger på. Man skulle kunna kalla det för matematikens grundlagar.

Paritet

Paritet är samlingsnamnet för begreppen udda tal, som -175, 1 och 17, och jämna tal, som 0, -42 och 42.

Ett jämnt tal definieras som ett heltal på formen

$\\2\cdot k\\$

där k är ett heltal. Exempelvis kan vi sätta k till k = 3 och få

$\\2\cdot k=2\cdot 3=6\\$

vilket är ett jämnt tal.

Ett udda tal definieras som ett heltal på formen

$\\2\cdot k+1\\$

där k är ett heltal. Exempelvis kan vi sätta k till k = 5 och få

$\\2\cdot k+1=2\cdot5+1=10+1=11\\$

vilket är ett udda tal.

Rationella tal

De rationella talen är alla heltal inklusive alla bråktal som kan skrivas på formen

$\\\frac{a}{b},\: \: b\neq 0\\$

Man brukar beteckna de rationella talen med Q och de nya talen (bråktalen) kommer att hamna mellan heltalen på tallinjen och så att säga fylla ut den.

Irrationella tal

Alla tal som inte kan skrivas som en kvot av två heltal kallas för irrationella tal. Till de irrationella talen hör bland annat π, √2 och talet e.

Reella tal

De rationella talen tillsammans med de irrationella talen utgör de reella talen. De reella talen betecknas med R.