Heltal och naturliga tal

Tal förekommer i många olika sammanhang och deras gemensamma syfte är att representera olika storheter. Det finns flera olika typer av tal, som är användbara för att beskriva olika saker. För att använda de olika typerna av tal på rätt sätt är det viktigt att veta talens egenskaper. Det är också viktigt att vi människor är överens om hur vi räknar med talen, så vi menar samma sak.

Naturliga tal

Vad vi kallar naturliga tal är en typ av tal som har använts av människan sedan mycket lång tid.

De naturliga talen är alla heltal 0, 1, 2, 3, 4, …, alltså de positiva heltal som vi normalt räknar med, som börjar med 0 och fortsätter mot större och större tal, i all oändlighet.

Man brukar beteckna de naturliga talen gemensamt med bokstaven \(\mathbb{N}\).

$$\mathbb{N}=\left \{ 0,1,2,3,... \right \}$$

Heltal

Om vi tar alla de naturliga talen och även inkluderar alla de negativa heltalen, då får vi den mängd av tal som vi idag kallar för heltal. Heltalen fortsätter i all oändlighet åt såväl det positiva hållet som det negativa hållet.

Man brukar beteckna alla heltalen med \(\mathbb{Z}\) (från tyskans ord Zahl, som betyder "antal").

$$\mathbb{Z}=\left \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... \right \}$$

Heltalens egenskaper

Nu ska vi gå igenom några av de viktiga egenskaperna som heltalen har. Dessa egenskaper kommer vi att hänvisa tillbaka till senare i kursavsnitten, då de är centrala för hur man får räkna med heltal.

Om a, b och c alla är heltal, gäller följande egenskaper:

Egenskap Addition Multiplikation
Slutenhet \(a+b\, är\, ett\, heltal\) \(ab\, är\, ett\, heltal\)
Associativitet \(a+(b+c)=(a+b)+c\) \(a(bc)=(ab)c\)
Kommutativitet \(a+b=b+a\) \(ab=ba\)
Distributivitet \(a(b+c)=ab+ac\) \(a(b+c)=ab+ac\)
Inversa element \(a+(-a)=0\)  
Neutralt element \(a+0=a\) \(a \cdot 1=a\)

Dessa kallas för heltalens egenskaper (eller axiom) och är antaganden som man har gjort en gång i tiden och som all senare utvecklad matematik med heltal bygger vidare på.

Paritet

Ett heltals paritet anger om talet är ett udda tal (till exempel 1, 17 eller -175) eller ett jämnt tal (till exempel 0, 42 eller -42).

Ett jämnt tal definieras som ett heltal som kan skrivas på formen

$$2\cdot k$$

där k är ett heltal. Exempelvis kan vi sätta \(k\) till \(k = 3\) och få

$$2\cdot k= 2\cdot 3= 6$$

vilket är ett jämnt tal.

Ett udda tal definieras som ett heltal som kan skrivas på formen

$$2\cdot k+1$$

där k är ett heltal. Exempelvis kan vi sätta \(k\) till \(k = 5\) och få

$$2\cdot k+1=2\cdot 5+1=10+1=11$$

vilket är ett udda tal.

Genom att låta k anta olika heltalsvärden kan man få fram alla de jämna respektive de udda talen.

Rationella tal

Med rationella tal menar vi alla heltal och alla bråktal som kan skrivas på formen:

$$\frac{a}{b}, b\neq 0$$

där a och b är heltal.

Exempel på rationella tal:

$$\\0, \;3, \;-17, \;\frac{13}{7}, \;2,4, \;-0,6$$

Man brukar beteckna de rationella talen med \(\mathbb{Q}\).

Irrationella tal

Alla tal som inte kan skrivas som en kvot av två heltal kallas för irrationella tal.

Exempel till irrationella talen är bland annat \(\sqrt2\) (kvadratroten av ett kvadratfritt tal), \(\pi\) (pi) och talet \(e\) (talet \(e\) kommer vi att träffa på i en senare kurs).

Reella tal

De rationella talen tillsammans med de irrationella talen utgör de reella talen. De reella talen betecknas med \(\mathbb{R}\). Alla tal som vi kommer att träffa på i den här kursen hör till de reella talen.

Videolektion

Här förklarar vi skillnaden mellan rationella och irrationella tal.

Har du en fråga du vill ställa om Heltal och naturliga tal? Ställ den i Mattebokens forum!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se