Sannolikhet

Man kan inte i alla situationer veta vad som kommer att hända. Till exempel om man singlar en slant så kan man inte veta om man kommer få krona eller klave. Vi kan inte veta hur myntet kommer att landa för det bestämmer slumpen, men om vi kastar myntet tillräckligt många gånger kommer myntet att landa på krona hälften av gångerna och klave den andra hälften av gångerna.

enkrona

Man säger då att sannolikheten för att få krona är 0,5 och att sannolikheten för att få klave är 0,5.

Sannolikhet brukar betecknas med P, från engelskans Probability (som betyder just sannolikhet). Sannolikheten att få krona skrivs alltså så här:

$\\P(krona)=0,5 \\$

och sannolikheten att få klave så här:

$\\P(klave)=0,5 \\$

Sannolikheten för att en händelse ska ske är alltid mellan 0 (kommer aldrig att ske) och 1 (kommer alltid att ske) och den beräknas enligt förljande formel.

$\\P(H)=\frac{antalet\ gynnsamma\ utfall}{antalet\ m\ddot{o}jliga\ utfall}\\$

Vi testar detta i ett exempel.

Vad är sannolikheten att slå en 5:a med en tärning?

Antalet gynnsamma utfall = 1 (det finns bara en 5:a på tärningen)

Antalet möjliga utfall = 6 (en tärning har 6 sidor)

$\\P(5:a)=\frac{1}{6}\approx 0,167\\$

Beroende och oberoende händelser

Vad är då sannolikheten om man har två tärningar att man får en 5:a med den första tärningen och en 6:a med den andra tärningen?

Eftersom resultatet från den första tärningen inte påverkar resultatet på den andra tärningen kallas de båda tärningskasten för oberoende händelser.

Sannolikheten för två oberoende händelser som med de här två tärningarna är sannolikheten för den första händelsen gånger sannolikheten för den andra händelsen.

$\\P(5:a)=\frac{1}{6}\\\\ P(6:a)=\frac{1}{6} \\$

$\\P(f\ddot{o}örst \: 5:a,\ sen\ 6:a)=P(5:a)\cdot P(6:a)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36} \\$

Vad är då sannolikheten att från en kortlek först dra en kung och sedan ett ess?

Sannolikheten för att dra en kung ur kortleken kommer att vara

$\\P(kung)=\frac{4}{52}\\$

Eftersom det finns fyra kungar i en kortlek och det i en vanlig kortlek (minus jokrarna) finns 52 kort. När vi har plockat ut ett kort (en kung) så finns det bara 51 kort kvar i leken. Sannolikheten att nu dra ett ess blir därför:

$\\P(ess\: efter\: kung)=\frac{4}{51}\\$

Det här är ett exempel på två beroende händelser eftersom sannolikheten av den andra händelsen påverkas av den första händelsen.

$\\P(kung)\ \cdot\ P(ess\: efter\: kung)=\\\\=\frac{4}{52}\cdot\frac{4}{51}=\frac{4}{663}=0,006=0,6\%\\$

Komplementhändelse

Vad är sannolikheten för att inte slå en sexa när man kastar en tärning? Vid den här typen av frågor brukar man tala om komplementhändelser. En komplementhändelse är att något inte inträffar. Komplementhändelsen till att inte slå en sexa är med andra ord att slå en 1:a, 2:a, 3:a, 4:a eller 5:a. För komplementhändelsen har vi fem gynnsamma utfall och sex möjliga utfall vilket ger oss:

$\\P(ej\: 6:a)=\frac{5}{6}=0,833...\approx 83\%\\$

Sannolikheten för en händelse och dess komplementhändelse är alltid 1

$\\P(h\ddot{a}ndelse)+P(komplementh\ddot{a}ndelse)=1\\$

$\\P(6:a)+P(ej\: 6:a)=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1\\$