Sannolikhet

Det finns situationer där vi inte säkert kan veta säkert vad som kommer att hända. Om vi till exempel singlar en slant, då kan vi inte veta om myntet kommer att landa så att det visar krona eller klave. Visserligen styrs myntets rörelser av fysikens lagar och är på så sätt förutsägbara, men utifrån en vanlig mänsklig betraktares perspektiv tycks det lika sannolikt att man få krona som klave. Om vi kastar myntet tillräckligt många gånger så kommer myntet att landa ungefär hälften av gångerna som krona och ungefär hälften som klave - resultatet i ett enskilt kast med myntet anses bero på slumpen, men sannolikheten att en viss händelse ska inträffa går att räkna ut.

Är det lika troligt att man får krona som att man får klave när man kastar myntet, säger man att sannolikheten att få krona är 0,5 och att sannolikheten att få klave är 0,5.

Sannolikheten brukar betecknas med P, från engelskans probability (som betyder just sannolikhet). Sannolikheten att få krona kan skrivas så här:

$$P(\text{krona})=0,5$$

och sannolikheten att få klave så här:

$$P(\text{klave})=0,5$$

Sannolikheten för att en viss händelse ska inträffa är alltid mellan 0 (kommer aldrig att ske) och 1 (kommer alltid att ske).

En sannolikhet på 0 innebär att händelsen kan förväntas inträffa i 0 % av fallen, medan en sannolikhet på 1 innebär att händelsen kan förväntas inträffa i 100 % av fallen - på motsvarande sätt innebär en sannolikhet på 0,5 att händelsen kan förväntas inträffa i 50 % av fallen.

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen

Sannolikheten för en händelse H definieras enligt följande formel, som kallas den klassiska sannolikhetsdefinitionen:

$$P(H)=\frac{\text{antalet gynnsamma utfall}}{\text{antalet möjliga utfall}}$$

Denna formel gäller dock bara vid så kallad likformig sannolikhetsfördelning, med vilket vi menar att varje möjligt utfall är lika troligt att det inträffar. Detta gäller för vårt exempel där vi singlar en slant (där det är lika troligt att vi får en krona som att vi får en klave - dessa är de två möjliga utfallen), eller om vi skulle kasta en vanlig sexsidig tärning (där det är lika troligt att tärningen landar på vardera av sidorna 1, 2, 3, 4, 5, eller 6 - dessa är de sex möjliga utfallen då man kastar en sexsidig tärning).


Vi använder den klassiska sannolikhetsdefinitionen i ett exempel

Vad är sannolikheten att slå en 5:a med en vanlig sexsidig tärning?

Antalet gynnsamma utfall = 1 (det finns bara en 5:a på tärningen)

Antalet möjliga utfall = 6 (en sexsidig tärning har såklart sex sidor och därför är sex olika utfall möjliga)

$$P(5)=\frac{1}{6}\approx0,167$$

Kastar vi en vanlig sexsidig tärning kan vi förväntas oss att den i ungefär 16,7 % av fallen kommer att visa en 5:a. Detta är vad vi har kommit fram till.

Experimentella sannolikheter

Ibland när vi räknar på sannolikheter kan vi på förhand inte veta hur stor sannolikhet det är att något utfall kommer att ske. I de fallen måste vi använda oss av experiment för att räkna ut vilken sannolikhet olika utfall har.

Kastar vi ett häftstift, då vet vi att det kan landa med stiftet upp eller med stiftet ner. Men vi kan inte innan kastet veta vilken sannolikhet något av dessa fall har. Vi måste utföra ett experiment för att ta reda på sannolikheten de två utfallen har. Dock får vi komma ihåg att experimenten endast kommer att uppskatta sannolikheterna. Men ju fler experiment som görs, desto säkrare blir resultaten.

Om vi utför experimentet med häftstiften. I första försöket kastar vi ett häftstift 30 gånger, i det andra försöket kastar vi det 150 gånger och i det tredje kastar vi det 400 gånger. Efter varje experiment räknar vi ut sannolikheten som vi kallar den relativa frekvensen. Den räknas ut med hjälp av den klassiska sannolikhetsdefinitionen som ges ovan. Resultaten kan ses i tabellen som följer.

Antal kast Stift upp Stift ner Relativa frekvensen för stift upp  Relativa frekvensen för stift ner
 30  15 15  \(\frac{15}{30}=0,5\)  \(\frac{15}{30}=0,5\)
150  90 60  \(\frac{90}{150}=0,6\) \(\frac{60}{150}=0,4\)
 400  260  140 \(\frac{260}{400}=0,65\)  \(\frac{140}{400}=0,35\)

Från tabellen kan vi avläsa olika sannolikheter beroende på hur många kast vi gjorde. Ju fler kast vi gör desto närmare sanningen är vi.

I många fall måste sannolikheter räknas ut på detta sätt och då får vi nöja oss med att sannolikheterna aldrig kommer vara exakta, utan endast en uppskattning.


Beroende och oberoende händelser

Om man kastar två vanliga sexsidiga tärningar efter varandra, vad är då sannolikheten att man först får en 5:a med den första tärningen och sedan en 6:a med den andra tärningen?

Eftersom resultatet från kastet med den första tärningen inte påverkar resultatet på den andra tärningen kallas de båda tärningskasten för oberoende händelser - sannolikheten för att den andra händelsen ska inträffa påverkas inte av den första händelsen.

Sannolikheten för två oberoende händelser, som i vårt exempel med de två tärningarna, är sannolikheten för den första händelsen gånger sannolikheten för den andra händelsen.


Vi börjar med att beräkna sannolikheten för att få en 5:a respektive 6:a

$$P(5)=\frac{1}{6}$$

$$P(6)=\frac{1}{6}$$

Sedan beräknar vi sannolikheten för att först få en 5:a på den först tärningen och sedan en 6:a på den andra tärningen:

$$P(5\text{ på första tärningen, } 6\text{ på andra tärningen})=$$

$$=P(5)\cdot P(6)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$$

Sannolikheten för att vi ska får en 5:a på den första tärningen och sedan en 6:a på den andra tärningen är alltså \(\frac{1}{36}\), vilket motsvarar ungefär 2,8 %.


Vad är sannolikheten att från en vanlig kortlek slumpmässigt först ska dra en kung och sedan ett ess, om vi inte lägger tillbaka de kort vi drar ur kortleken?

En vanlig kortlek innehåller 52 kort (förutom eventuella jokrar, som vi inte räknar med i detta exempel). En sådan kortlek innehåller fyra kungar och fyra ess.

Sannolikheten för att dra en kung ur kortleken kommer att vara

$$P(\text{kung})=\frac{4}{52}$$

När vi har plockat ut ett kort (en kung) ur kortleken så finns det bara 51 kort kvar i leken. Sannolikheten att nu dra ett ess blir därför:

$$P(\text{ess efter kung})=\frac{4}{51}$$

Det här är ett exempel på två beroende händelser, eftersom sannolikheten för att den andra händelsen inträffar påverkas av den första händelsen.

Sannolikheten för att man först ska dra en kung ur leken och sedan ett ess, om man inte lägger tillbaka de kort som dras, blir:

$$P(\text{kung})\cdot P(\text{ess efter kung})=$$

$$=\frac{4}{52}\cdot \frac{4}{51}=\frac{16}{2\,652}=\frac{4}{663}\approx0,006$$

Sannolikheten för att vi först ska dra en kung och sedan ett ess, om vi inte lägger tillbaka korten, är alltså 4/663, vilket motsvarar ungefär 0,6 %.


Komplementhändelse

Vad är sannolikheten för att inte slå en sexa när vi kastar en vanlig sexsidig tärning?

Vid den här typen av frågor brukar man tala om komplementhändelser. Komplementhändelsen till att vi slår en 6:a med tärningen är att vi slår något annat än en 6:a med tärningen (det vill säga, vi slår 1, 2, 3, 4, eller 5). Adderar vi sannolikheten för en händelse och sannolikheten för dess komplementhändelse ska summan bli 1 (antingen sker händelsen eller också sker dess komplementhändelse - något annat kan inte ske).

För komplementhändelsen till att slå en 6:a med tärningen har vi fem gynnsamma utfall (1, 2, 3, 4, och 5) och sex möjliga utfall (1, 2, 3, 4, 5, och 6), vilket utifrån den klassiska sannolikhetsdefinitionen ger oss:

$$P(ej\: 6)=\frac{5}{6}\approx0,83$$

Sedan tidigare vet vi att sannolikheten för att slå en 6:a med en vanlig sexsidig tärning är

$$P(6)=\frac{1}{6}\approx0,17$$

Sannolikheten för en händelse och dess komplementhändelse är ju alltid 1:

$$P(6)+P(ej\,6)=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{6}{6}=1$$

Videolektioner

Här introducerar vi sannolikhetslära och viktiga termer.

Här går vi igenom komplementhändelse.

Här går vi igenom experimentiella sannolikheter.

Här går vi igenom beroende händelser.

Här går vi igenom hur vi räknar med sannolikheter som har fler än en aktivitet.

Här går vi igenom träddiagram med hjälp av ett exempel.

Här räknar vi på sannolikhet.

 

Här räknar vi på sannolikhet när vi kastar tärningar.

Har du en fråga du vill ställa om Sannolikhet? Ställ den i Mattebokens forum!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!