Kvadratrötter och andra rötter

Vi har i ett tidigare avsnitt lärt oss vad potenser är och hur man räknar med dem. I det här avsnittet ska vi lära oss om kvadratrötter och andra rötter, och se hur de förhåller sig till potenser.

Kvadratrötter

Kvadratroten ur ett tal a är ett icke-negativt tal som upphöjt till 2 är lika med a, där \(a \geq 0\). Med andra ord \(\sqrt{a}\) är en kvadratrot ur om:

$$\left ( \sqrt{a} \right)^2= \sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$$

där \(a \geq 0 \) och \( \sqrt{a} \geq 0 \).

Ofta kallas kvadratroten ur a bara för "roten ur a".


Vi tittar på ett exempel:

$$3^2=9$$

Det vänstra ledet är en känd potens med basen 3 och exponenten 2. Det högra ledet är produkten.

Att beräkna kvadratroten ur talet 9 innebär alltså att vi söker ett tal vars kvadrat (alltså talet gånger sig självt) blir 9.

Vi tecknar detta som

$${\sqrt{9}}=3$$

Eftersom vi vet att en lösning på √9 är 3 och att 32 är detsamma som 9, kan vi skriva ihop uttrycken till

$$3^2=9$$

$$(\sqrt{9})^{2}=9$$

Roten ur (eller kvadratroten ur) är detsamma som att säga att något är upphöjt till \(\frac{1}{2}\), vilket vi kan se genom att vi tillämpar en av potenslagarna (potensen av en potens):

$$(\sqrt 9)^2=(9^{\frac{1}{2}})^{2} =9^{\frac{1}{2}\cdot2}=9^1=9$$

Det här visar alltså att

$$ \sqrt{9}=\sqrt[2]{9}={9}^{{}^{\frac{1}{2}}} $$


Allmänt gäller följande för kvadratrötter

$$ \sqrt{a}=\sqrt[2]{a}={a}^{{}^{\frac{1}{2}}} $$

där a är ett icke-negativt tal.

Kubikrötter

En annan vanligt förekommande situation är att man har ett uttryck likt det i följande exempel:

$$2^3=8$$

I det här fallet vet vi att talet 2 i kubik (alltså 2·2·2) är lika med 8.

Vi kan skriva denna tredjerot, eller kubikroten som den också kallas, ur 8 så här:

$$\sqrt[3]{8}=2$$

På ett liknande sätt som vi visade ovan att man kunde göra med kvadratrötter, gäller följande för kubikroten i vårt exempel:

$$\sqrt[3]{8}=8^{\frac{1}{3}}$$

Rötter av högre grad

Allmänt gäller att

$$\sqrt[a]{b}={b}^{{}^{\frac{1}{a}}}$$

Vi tittar på ett exempel:

$$\sqrt[4]{10000}=10000^{\frac{1}{4}}=10$$

Tar vi fjärderoten ur 10000 får vi 10, vilket betyder att 10 multiplicerat med sig självt fyra gånger är 10000.

Andra intressanta exponenter

I det här avsnittet har vi hittills stött på potenser vars exponenter antingen är heltal eller utgörs av bråktal med en 1:a i täljaren och ett heltal i nämnaren.

Hur skall man tolka följande uttryck?

$$5^{\frac{3}{2}}$$

I potensen ovan är basen 5 och exponenten är bråktalet \(\frac{3}{2}\).

Vi kan här använda oss av potenslagen för multiplikation av potenser, fast åt andra hållet, och får då

$$ {5}^{{}^{\frac{3}{2}}}={5}^{{}^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}}={5}^{{}^{1}}\cdot {5}^{{}^{\frac{1}{2}}}=5\sqrt{5} $$

Ett annat sätt att se på uttrycket är följande (här använder vi potenslagen för potens av en potens):

$$\\5^{\frac{3}{2}}=5^{3\cdot \frac{1}{2}}=\left ( 5^{\frac{1}{2}} \right )^3 =$$

$$=(\sqrt5)^3=\sqrt5 \cdot\sqrt5 \cdot\sqrt5$$

De båda produkter som vi fått fram genom dessa utvecklingar är ekvivalenta.

Videolektioner

Här går vi igenom vad kvadratroten är och ger två exempel.

Här går vi igenom hur man löser x i en ekvation.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Kvadratrötter och andra rötter? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!