Kvadratrötter och andra rötter

Inversen till en potens är roten ur.

$\\3^{2}=9\\$

$\\\sqrt 9=3\\$

Eftersom vi vet att √9 är detsamma som 3 och att 3² är detsamma som 9 kan vi skriva ihop uttrycken här ovan till

$\\(\sqrt{9})^{2}=9\\$

Roten ur (eller kvadratroten ur) är detsamma som att säga att något är upphöjt i ½.

$\\(\sqrt{9})^{2}=(9^{\frac{1}{2}})^{2}=9^{\frac{1}{2}\cdot 2}=9^{1}=9\\$

Det här visar alltså att

$\\\sqrt{9}=\sqrt[2]{9}=9^{\frac{1}{2}}\\$

Eller allmänt som

$\\\sqrt[a]{b}=b^{\frac{1}{a}}\\$

Hur skall man då tolka följande uttryck?

$\\5^{\frac{3}{2}}\\$

Vi kan här använda oss av potenslagen för multiplikation av potenser fast åt andra hållet och får då

$\\5^{\frac{3}{2}}=5^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}=5^{1}\cdot 5^{\frac{1}{2}}=5\sqrt{5}\\$