Komplexa tal

I avsnittet om enkla andragradsekvationer kom vi fram till att vissa andragradsekvationer saknar reella lösningar. I det här avsnittet ska vi bekanta oss med hur man ändå kan hantera denna situation, genom införandet av så kallade imaginära tal, som tillsammans med de reella talen bildar komplexa tal.

Vi såg att vi inte kunde lösa andragradsekvationen

$$x^{2}+25=0$$

Eftersom vi fastnade på att vi inte kunde lösa

$$x=\sqrt{-25}$$

då vi fram tills nu inte har haft några verktyg för att beräkna negativa kvadratrötter.

Detta är något som matematiker länge tyckte var otillfredsställande, eftersom det ledde till att man saknade sätt att uttrycka lösningen till många andragradsekvationer. På 1700-talet kom dock den kände matematikern Leonhard Euler fram till att man kunde lösa dessa ekvationer om man införde en ny typ av tal genom införandet av den imaginära enheten i, som är definierad som det tal vars kvadrat är -1.

Denna imaginära enhet i har följande egenskaper:

$$i=\sqrt{-1}$$

$$i^{2}=-1$$


Om vi nu använder oss av den här nya kunskapen, så kan vi skriva om vår andragradsekvation ovan

$$x=\pm\sqrt{-25}$$

$$x=\pm\sqrt{-1\cdot25}$$

$$x=\pm\sqrt{i^{2}\cdot5^{2}}$$

Härifrån kan vi sedan beräkna x:

$$x=\pm\sqrt{i^{2}\cdot5^{2}}$$

$$x=\pm5i$$

$$\begin{cases} x_{1}= 5i\\ x_{2}= -5i \end{cases}$$

Den typ av tal som vi hittade som lösningar till denna andragradsekvation kallar vi imaginära tal.


Ett komplext tal är ett tal som består av både en reell del och en imaginär del. Till exempel är följande ett komplext tal

$$3+5i$$

I exemplet ovan är 3 den reella delen och 5i den imaginära delen av det komplexa talet. Om ett komplext tal saknar reell del, då kallar vi det ett rent imaginärt tal (exempel på rent imaginära tal är de båda lösningarna till vår andragradsekvation ovan, x₁= 5i och x= -5i).


Ett komplext tal kan alltid skrivas på formen

$$z=a+bi$$

där a och b är två reella tal, och i är den imaginära enheten; a kallas för realdelen och b för imaginärdelen.

Mängden av alla komplexa tal brukar betecknas \(\mathbb{C}\) och inkluderar alltså alla tal som kan skrivas på den allmänna formen ovan.

Förutom det rent teoretiska värdet som komplexa tal har, då de erbjuder ett sätt att uttrycka icke-reella lösningar på andragradsekvationer, så har man stor användning för komplexa tal inom fysiken, bland annat vid beskrivning av vågrörelser inom elektromagnetismens område.

Videolektioner

Här går vi igenom komplexa tal.

Lösning av andragradsekvation med komplexa rötter.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Komplexa tal? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!