Area Mellan Kurvor

Area mellan kurvor 01

1 a. Bilden visar kurvan \(f(x) = -x^2+2x+3 \). Beräkna arean mellan kurvan och \(x\)-axeln (det gröna området).

Area mellan kurvor 02

1 b. \((0,3)\) och \((3,0)\) är två punkter på kurvan \(f(x)=-x^2+2x+3\). Bestäm ekvationen för linjen som går igenom dessa två punkter. Beräkna sedan arean av området mellan kurvan och linjen (det gröna området).

Area mellan kurvor 03

2 a. Bilden visar kurvan \(f(x)=x^2-3x\) och linjen \(y=-x+3\). Beräkna arean av området som begränsas av kurvan, linjen och \(y\)-axeln (det gröna området).

Area mellan kurvor 04

2 b. Beräkna arean för området som begränsas av kurvan \(f(x)=x^2-3x\) och \(x\)-axeln.

 

Lösningsförslag:

1 a.

För att räkna ut arean använder vi oss av integralberäkningar. På bilden ser vi att kurvan skär \(x\)-axeln i punkerna då \(x=-1\) och \(x=3\). Arean mellan \(x\)-axeln och kurvan \(f(x)=-x^2+2x+3\) är således:

$$\begin{align}A = & \int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3) dx \\ = & \left[ -\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right]_{-1}^{3} \\ = & \left( -\frac{3^3}{3}+3^2+3\cdot 3\right) - \left( - \frac{(-1)^3}{3}+(-1)^2+3\cdot(-1)\right) \\ = & (-3^2+3^2+3^2)- \left( \frac{1}{3}+1-3\right) \\ = & 9-\frac{1}{3}+2 \\ = & \frac{32}{3} \end{align}$$

Arean av det gröna området är alltså \(\frac{32}{3}\) area enheter.

 

1 b.

Ekvationen för linjen som går igenom punkterna \((0,3)\) och \((3,0)\) är av typen \(y=kx+m\). Vi får fram ekvationen genom att stoppa in punkterna i ekvationen och räknar ut \(k\) och \(m\):

$$\begin{align} 3 = & k\cdot 0+m \implies m=3 \\ 0 = & k\cdot3+3 \implies k=-1 \\ y = & -x+3 \end{align}$$

Linjens ekvation är alltså \(y=-x+3\). Arean mellan kurvan \(f(x) = -x^2+2x+3\) och linjen beräknas med hjälp av integralberäkning som vi lärde oss i Matte 3:

$$\begin{align} A = & \int_{0}^{3} (-x^{2}+2x+3) - (-x+3)dx \\ = & \int_{0}^{3} (-x^2+2x+3) dx - \int_{0}^{3} (-x+3)dx \\ = & \left [ -\frac{x^3}{3}+x^{2}+3x \right ]_{0}^{3}- \left[ -\frac{x^2}{2} +3x \right]_{0}^{3} \\ = & \left( -\frac{27}{3}+9+9 \right)-\left( -\frac{9}{2}+9\right) \\ = & 9-\frac{9}{2} \\ = & \frac{18}{2}-\frac{9}{2} \\ = & \frac{9}{2} = 4,5 \end{align}$$

Arean av det gröna området är således 4,5 area enheter.

 

2 a.

Arean av området som begränsas av kurvan \(f(x) = x^2 - 3x\), linjen \(y = -x+3\) och \(y\)-axeln beräknas på samma sätt som i uppgift 1 b, alltså:

$$\begin{align} A = & \int_{0}^{3} (-x+3)-(x^2-3x) dx \\ = & \int_{0}^{3} (-x+3) dx - \int_{0}^{3} (x^2-3x) dx \\ = & \left[ -\frac{x^2}{2}+3x \right]_{0}^{3}- \left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{3} \\ = & \left( -\frac{9}{2}+9\right) - \left( \frac{27}{3}-\frac{27}{2}\right) \\ = & \frac{9}{2}-\left( -\frac{27}{6}\right) \\ = & \frac{9}{2}+\frac{27}{6} \\ = & \frac{27}{6}+ \frac{27}{6} \\ = & \frac{27}{3} = 9 \end{align}$$

Arean av det gröna området är således 9 area enheter.

 

2 b.

Arean av detta område beräknas genom integralen:

$$\begin{align} A = & \int_{0}^{3}(x^{2}-3x)dx \\ = & \left[ \frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3} \\ = & \left( \frac{3^{3}}{3}-\frac{3\cdot3^2}{2} \right) - \left( \frac{0^{3}}{3}-\frac{3\cdot 0^2}{2}\right) \\ = & \frac{27}{3}-\frac{27}{2} \\ = & -\frac{27}{6} \\ = & -4,5 \end{align}$$

Arean av det gröna området är således 4,5 area enheter.

Har du en fråga du vill ställa om Area Mellan Kurvor? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se