Utspark med fotboll

Med vilken hastighet (km/h) ska en liggande fotboll sparkas ut för att nå 10 meter längre än mittlinjen? Hur högt når bollen som högst? Bollen ligger i ursprungsläget på linjen 5,5 meter in från kortlinjen. Planens längd är 105 meter. Bollen sparkas ut i en vinkel på 35° från marken.

Ekvationerna för läget i x-led (längd) respektive y-led (höjd) är då följande (vi bortser från luftmotståndet):

$$x(t)=x_{0}+v_{x}t$$

$$y(t)=y_{0}+v_{y}t-\frac{gt^{2}}{2}$$

där (x0, y0) är bollens startpunkt, vx är hastigheten i längdled och vy är hastigheten i höjdled och g = 9,82 m/s2 är tyngdaccelerationen.

 

Lösningsförslag:

Från uppgiften vet vi att bollens startpunkt är: (x0, y0) = (5.5,0).

Vi ritar upp en bild för att tydligare åskådliggöra problemet, se nedan. Vi kallar motstående katetar för vy,närliggande för vx och hypotenusan kallar vi för v.

Utspark med fotboll

Vi får följande samband mellan hastigheten v och hastigheten i x-led respektive y-led, där θ = 35° (vinkeln som bollen sparkas ut i).

$$\begin{align} \cos(\theta) & = \frac{v_{x}}{v} \implies v_{x}=v \cdot \cos(\theta) \\ \sin(\theta) & = \frac{v_{y}}{v} \implies v_{y}=v\cdot \sin(\theta) \end{align}$$

Vi kallar tidpunkten då fotbollen når marken för t1 och koordinaten för (x1, y1).

$$x_1=\frac{105}{2}+10=62,5$$

$$\begin{align} x_{1} & = x(t_{1})=x_{0}+v_{x}t_{1} \\ & = 5,5+v\cdot \cos(35) \cdot t_{1}=62,5 \end{align}$$

För y-koordinaten får vi följande samband:

$$y_1=0$$

$$\begin{align} y_{1} & =y(t_{1})=y_{0}+v_{y}t_{1}-\frac{gt^2_1}{2} \\ & =0+v\cdot \sin(35) \cdot t_{1}-\frac{9,82t^{2}_{1}}{2}=0 \end{align}$$

Lös ut v∙t1 ur ekvationen för x1:

$$v\cdot \cos(35) \cdot t_{1}=62,5-5,5$$

$$v\cdot t_{1}=\frac{57}{\cos(35)}$$

Vi sätter nu in det uttrycket i ekvationen för y1:

$$\frac{57\cdot \sin(35)}{\cos(35)}-4,91^{2}_{1}=0$$

$$t^{2}_{1}=\frac{57\cdot \sin(35)}{4,91\cdot \cos(35)}$$

$$t_{1}=\sqrt{\frac{57\cdot \sin(35)}{4,91\cdot \cos(35)}}=2,851084$$

Vi kan nu räkna ut v:

$$v=\frac{57}{t_{1}\cdot \cos(35)}=\frac{57}{2,851084\cdot \cos(35)}=24,4062$$

24,4062 m/s = 24,4062•10-3 km/(h/3600)=24,4062 • 3,6 km/h = 87,8623 km/h

Vi ska nu räkna ut bollens högsta punkt.

Vi vet att när y(t) har ett maximum så är derivatan med avseende på t lika med 0.

$$y'(t)=\frac{d}{dt}\left ( v\cdot \sin(35)\cdot t-\frac{9,82t^{2}}{2} \right)=v\cdot \sin(35)-9,82t=0$$

$$t=\frac{v\cdot \sin(35)}{9,82}=\frac{24,2062\cdot \sin(35)}{9,82}=1,425542$$

Vi kan nu räkna ut på vilken höjd bollen befinner sig på vid den tidpunkten:

$$\begin{align} y(1,425542) & =v\cdot \sin(35)\cdot t-\frac{9,82t^{2}}{2} \\ & =24,4062\cdot \sin(35) \cdot t-\frac{9,82\cdot (1,425542)^{2}}{2} \\ & =9,97795\approx 10m\end{align}$$

Bollen sparkas iväg med hastigheten 88 km/h och når maximalt höjden 10 m.

Har du en fråga du vill ställa om Utspark med fotboll? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se