Komplexa tal

När vi studerade lösning av andragradsekvationer i Matte 2-kursen stötte vi för första gången på de komplexa talen, vilka kan användas till att uttrycka icke-reella lösningar till andragradsekvationer.

I det här kapitlet ska vi undersöka de komplexa talen ytterligare. Vi börjar med en repetition av grunderna och går sedan in på hur vi kan räkna med komplexa tal och hur vi kan representera dem.

Imaginära tal och komplexa tal

Om vi har en andragradsekvation, till exempel

$${x}^{2}+4=0$$

och försöker lösa den, så märker vi snart att ekvationen saknar reella lösningar. Subtraherar vi 4 från ekvationens båda led, får vi

$${x}^{2}+4{\color{Blue} \,-\,4}=0{\color{Blue} \,-\,4}$$

$${x}^{2}=-4$$

$$x=\pm\sqrt{-4}$$

Det är här som de komplexa talen kommer in, eftersom vi inte kan beräkna roten ur ett negativt tal om vi är begränsade till de reella talen. Vi inför den imaginära enheten, i, som är definierad som det tal som har följande egenskap:

$${i}^{2}=-1$$

Med hjälp av den imaginära enheten kan vi skriva om vår ekvation ovan, så att vi får följande:

$$x=\pm\sqrt{-4}$$

$$x=\pm\sqrt{4\cdot (-1)}$$

$$x=\pm\sqrt{{2}^{2}\cdot {i}^{2}}=\pm\sqrt{{(2i)}^2}=\pm2i$$

Ekvationens lösningar är alltså

$${x}_{1}=2i$$

$${x}_{2}=-2i$$

Dessa lösningar är imaginära tal.

Har vi en fullständig andragradsekvation så är det vanligt att vi får lösningar som utgörs av summor av dels ett reellt tal och dels ett imaginärt tal.


Om vi till exempel löser följande andragradsekvation

$${x}^{2}+2x+5=0$$

så hittar vi de båda lösningarna

$${x}_{1}=-1+2i$$

$${x}_{2}=-1-2i$$


Dessa lösningar består av dels ett reellt tal (-1) och dels ett imaginärt tal (±2i). Såväl dessa lösningar som lösningarna på det tidigare exemplet utgör komplexa tal, eftersom de kan skrivas som en summa av en reell del och en imaginär del. I det tidigare exemplet saknade lösningarna reell del; sådana komplexa tal kallar vi rent imaginära tal.

De reella talen utgör en delmängd av de komplexa talen. Det innebär att alla reella tal kan skrivas som komplexa tal, vilket vi kan göra genom att vi till det reella talet adderar ett imaginärt tal 0i.

Komplexa tal i rektangulär form

Vanligen när vi har att göra med komplexa tal, skriver vi dem i följande form:

$$z=a+bi$$

där z betecknar det komplexa talet, a och b är reella tal, och i är den imaginära enheten.

Detta sätt att skriva ett komplext tal kallas rektangulär form. Skrivet i denna form utgör a talet z:s realdel och b utgör talet z:s imaginärdel. Vi skriver detta Re z = a och Im z = b.

Det finns även andra sätt att representera komplexa tal, vilka vi kommer att titta på senare i detta kapitel.

Videolektion

Andragradsfunktion med komplexa nollställen.

Har du en fråga du vill ställa om Komplexa tal? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se