Primitiva Funktioner
Bestäm en primitiv funktion till:
1. f(x)=4e2x+e−x, sådan att F(0)=2
2. f(x)=4⋅sin(2x)+cos(x), sådan att F(π)=3
Lösningsförslag:
1.
I Matte 3 gick vi igenom hur vi hittar en primitiv funktion. Vi använder oss av det och beräknar följande primitiva funktion:
F(x)=4⋅12e2x+(−1)e−x+C=2e2x−e−x+C
Termen C är en konstant som läggs på den primitiva funktionen för att ge alla lösningar till den primitiva funktionen. I frågan fick vi även ett villkor, nämligen att F(0)=2, som gör att vi kan bestämma konstanten C. Vi stoppar in värdena för villkoret och får:
F(0)=2e2⋅0−e−0+C=2
Det ger:
2e0−e0+C=22⋅1−1+C=21+C=2C=1
Den primitiva funktionen är alltså:
F(x)=2e2x−e−x+1
2.
I Matte 4 gick vi igenom hur vi hittar en primitiv funktion till en funktion som innehåller trigonometriska uttryck. Vi använder oss av det och beräknar följande primitiva funktion:
F(x)=4⋅(−12⋅cos(2x))+sin(x)+C=−2⋅cos(2x)+sin(x)+C
Även här fick vi ett villkor F(π)=3, som hjälper oss att hitta konstanten C. Vi stoppar in villkoret i funktionen och får följande:
F(π)=−2⋅cos(2π)+sin(π)+C=3
Det ger:
−2⋅cos(2π)+sin(π)+C=3−2⋅1+0+C=3−2+C=3C=5
Den primitiva funktionen är alltså:
F(x)=−2⋅cos(2x)+sin(x)+5
Bestäm en primitiv funktion till:
1. \(f(x)=4e^{2x}+e^{-x}\), sådan att \(F(0)=2\)
2. \(f(x)=4\cdot\sin(2x)+\cos(x)\), sådan att \(F(\pi)=3\)
Lösningsförslag:
1.
I Matte 3 gick vi igenom hur vi hittar en primitiv funktion. Vi använder oss av det och beräknar följande primitiva funktion:
$$\begin{align}F(x) & =4\cdot\frac{1}{2}e^{2x}+(-1)e^{-x}+C \\ & = 2e^{2x}-e^{-x}+C \end{align}$$
Termen \(C\) är en konstant som läggs på den primitiva funktionen för att ge alla lösningar till den primitiva funktionen. I frågan fick vi även ett villkor, nämligen att \(F(0)=2\), som gör att vi kan bestämma konstanten \(C\). Vi stoppar in värdena för villkoret och får:
$$F(0) = 2e^{2\cdot0}-e^{-0}+C=2$$
Det ger:
$$\begin{align} 2e^{0}-e^{0}+C & = 2 \\ 2\cdot1-1+C & = 2 \\ 1+C & = 2 \\ C & = 1\end{align}$$
Den primitiva funktionen är alltså:
$$F(x)=2e^{2x}-e^{-x}+1$$
2.
I Matte 4 gick vi igenom hur vi hittar en primitiv funktion till en funktion som innehåller trigonometriska uttryck. Vi använder oss av det och beräknar följande primitiva funktion:
$$\begin{align}F(x) = & 4\cdot\left(-\frac{1}{2}\cdot\cos(2x)\right)+\sin(x)+C \\ = & -2 \cdot\cos(2x)+\sin(x)+C \end{align}$$
Även här fick vi ett villkor \(F(\pi)=3\), som hjälper oss att hitta konstanten \(C\). Vi stoppar in villkoret i funktionen och får följande:
$$F(\pi)=-2 \cdot\cos(2\pi)+\sin(\pi)+C=3$$
Det ger:
$$\begin{align}-2 \cdot\cos(2\pi)+\sin(\pi)+C & = 3\\ -2\cdot1+0+C & = 3 \\-2 +C & = 3 \\ C & = 5 \end{align}$$
Den primitiva funktionen är alltså:
$$F(x)=-2 \cdot\cos(2x)+\sin(x)+5$$