Radianer

I de tidigare kurserna har vi uteslutande angett storleken på vinklar i grader. Dock finns det andra sätt att ange vinklars storlek och det mest använda alternativet till grader är radianer, en enhet som vi ska bekanta oss med i detta avsnitt.

När vi har haft med vinklar att göra har vi vant oss vid att ett helt varv motsvarar en vinkelstorlek på 360°, att ett kvarts varv motsvarar 90°, och så vidare. Att ett helt varv motsvarar just 360° kan dock tyckas ganska godtyckligt.

Att istället ange vinkelstorlek i radianer är ett sätt att uppnå en närmare koppling mellan en vinkels storlek och cirkelns geometriska egenskaper, närmare bestämt dess omkrets. Därför är det vanligt i naturvetenskapliga och tekniska sammanhang att ange vinklar i radianer, då det ofta leder till enklare formler än om vinklarna anges i grader.

Från våra tidigare studier av geometri vet vi att en cirkels omkrets skrivs allmänt enligt formeln

$$Omkrets=2\pi r\,längdenheter$$

där r betecknar cirkelns radie.

Om vi utgår från enhetscirkeln, har den en radie med längden 1 längdenhet, vilket innebär att dess omkrets är

$$Omkrets\,(enhetscirkeln)=2\pi\,längdenheter$$

Detta är alltså längden på enhetscirkelns omkrets. För en viss vinkel v kommer vi i enhetscirkeln att få en cirkelbåge av en viss längd; längden på denna cirkelbåge utgör vinkelns storlek mätt i radianer, som anges i rad.

Ett helt varv motsvarar 2π radianer, vilket alltså är detsamma som 360°. Ett halvt varv är π radianer och ett kvarts varv är π/2 radianer.

Allmänt gäller

$$1\,rad=\frac{{360}^{\circ}}{2\pi}=\frac{{180}^{\circ}}{\pi}\approx{57,3}^{\circ}$$

$${1}^{\circ}=\frac{2\pi}{360}\,rad=\frac{\pi}{180}\,rad\approx0,0175\,rad$$

vilket innebär att det går ungefär 6,3 radianer (exakt: 2π radianer) på ett helt varv.

I tabellen nedan har vi angett hur man omvandlar en vinkels storlek mellan grader och radianer för några vanligt förekommande vinkelstorlekar.

Grader Radianer
\(0^{\circ}\) \(0\)
\(30^{\circ}\) \(\frac{\pi}{6}\)
\(45^{\circ}\) \(\frac{\pi}{4}\)
\(60^{\circ}\) \(\frac{\pi}{3}\)
\(90^{\circ}\) \(\frac{\pi}{2}\)
\(180^{\circ}\) \({\pi}\)
\(270^{\circ}\) \(\frac{3\pi}{2}\)
\(360^{\circ}\) \(2\pi\)

Har vi en känd vinkel som är angiven i grader (vg), då kan vi omvandla vinkelns storlek till enheten radianer (vr) genom följande formel:

$$v_r=v_g\cdot \frac{\pi}{{180}^{\circ}}$$

På motsvarande sätt kan vi omvandla vinklar angivna i radianer till grader genom följande formel:

$$v_g=v_r\cdot \frac{{180}^{\circ}}{\pi} $$

Videolektion

Här går vi igenom hur vi kan räkna fram en vinkel i både grader och radianer.

Har du en fråga du vill ställa om Radianer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se