Trigonometriska samband

I Matte 1- och Matte 3-kurserna har tidigare stött på de grundläggande trigonometriska sambanden. I det här och efterföljande avsnitt kommer vi att repetera en del av vad vi tidigare har lärt oss och även fördjupa oss inom trigonometrin.

I en rätvinklig triangel råder ett förutsägbart samband mellan någon av triangelns spetsiga vinklar och kvoten mellan två av triangelns sidor. Dessa samband har vi stött på tidigare:

$$tan\,v=\frac{motsående\,katet}{närliggande\,katet}$$

$$sin\,v=\frac{motstående\,katet}{hypotenusan} $$

$$cos\,v=\frac{närliggande\,katet}{hypotenusan}$$

Trigonometri _01

Värdet på dessa kvoter mellan två av triangelns sidor kommer att vara olika beroende på vilken storlek den spetsiga vinkeln har. För vissa storlekar på vinkeln kommer kvoten att bli ett exakt värde, som i många sammanhang är användbara att känna till.

Till exempel innebär en spetsig vinkel med storleken 60° att den rätvinkliga triangeln kan ses som den ena halvan av en större, liksidig triangel där alla vinklarna är 60° och sidorna ha längderna 1 längdenhet.

Trigonometri __trigonometriska _samband _05

För triangelns höjd beräknar vi ett exakt uttryck med hjälp av Pythagoras sats:

$${1}^{2}=\left (\frac{1}{2} \right )^{2}+{h}^{2}$$

$$h=\sqrt{{1}^{2}-\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Utifrån denna rätvinkliga triangel kan vi beräkna de exakta värdena på tan 60°, sin 60° och cos 60°.

$$tan\,{60}^{\circ}=\frac{h}{\frac{1}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=\sqrt{3}$$

$$sin\,{60}^{\circ}=\frac{h}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$cos\,{60}^{\circ}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$$

På liknande sätt kan vi för olika vinkelstorlekar härleda ett antal andra exakta trigonometriska värden, som vi visar i tabellen nedan.

$$v$$ $$tan \, v$$ $$sin \, v$$ $$cos \, v$$
$$0^{\circ}$$ $$0$$ $$0$$ $$1$$
$$30^{\circ}$$ $$\frac{1}{\sqrt3}$$ $$\frac{1}{2}$$ $$\frac{\sqrt3}{2}$$
$$45^{\circ}$$ $$1$$ $$\frac{1}{\sqrt2}$$  $$\frac{1}{\sqrt2}$$ 
$$60^{\circ}$$ $$\sqrt3$$ $$\frac{\sqrt3}{2}$$ $$\frac{1}{2}$$
$$90^{\circ}$$ $$-$$  $$1$$ $$0$$ 

Videolektion

Här ser vi hur vi med hjälp av förhållandet mellan hypotenusan och en katet samt kunskaper inom trigonometri kan bestäma en vinkel i en triangel

Har du en fråga du vill ställa om Trigonometriska samband? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se