Omkrets för månghörning

En cirkel kan ses som en regelbunden månghörning med oändligt antal hörn och har en omkrets O = 2πr där r = radien. Visa att omkretsen för en regelbunden månghörning går mot 2πr då antalet hörn går mot oändligheten och r = avståndet från mittpunkten till respektive hörn.

Du får använda dig av att ett varv är 2π radianer och att för små x gäller att

$$\\sin\,x\approx x-\frac{x^{3}}{3!}=x-\frac{x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}=x-\frac{x^{3}}{6}\\$$

Omkrets för månghörning

Lösningsförslag:

Vi räknar ut omkretsen för en regelbunden månghörning med n stycken hörn och avståndet r från mittpunkten till respektive hörn.

Vi kan dela upp månghörningen i n stycken trianglar där den minsta vinkeln är 2π/n. Två sidor är r långa och en är s lång, d.v.s. månghörningens omkrets är alltså s∙n.

Om vi delar varje triangel i två delar så får vi 2n stycken rätvinkliga trianglar där minsta vinkeln är π/n, hypotenusan är r och den kortare sidan är s/2.

Vi får då:

$$sin\,\frac{\pi }{n}=\frac{s\div 2}{r} \\ s=2rsin\,\frac{\pi}{n}$$

Månghörningens omkrets:

$$\\O_{n}=s\cdot n=2rnsin\,\frac{\pi}{n}\\$$

Eftersom π/n är litet då n är stort kan vi använda utvecklingen av sin x:

$$\\O_{n}=2rn\left ( \frac{\pi}{n}-\left ( \frac{\pi}{n}^{3} \right )\cdot \frac{1}{6} \right )=2\pi r-\frac{\pi^{3}}{3n^{2}}r\\$$

När n går mot oändligheten (∞) går den andra termen mot noll, d.v.s.

$$\\O_{n}=O=2\pi r\\$$

V.S.V.

Kommentar: Vi noterar att den andra termen i uttrycket är negativ, vilket innebär att omkretsen för en månghörning med n hörn alltid är kortare än omkretsen för motsvarande cirkel. Dessutom blir omkretsen successivt större när antalet hörn ökar.

Har du en fråga du vill ställa om Omkrets för månghörning? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se