de Moivres formel

I Matte 1-kursen gick vi igenom hur man beräknar potenser av reella tal. I det förra avsnittet såg vi att det är enkelt att multiplicera komplexa tal när de är skrivna i polär form.

I det här avsnittet ska vi titta närmare på hur vi beräknar potenser av komplexa tal, vilket vi enkelt kan göra med hjälp av de Moivres formel. Genom att kunna beräkna potenser av komplexa tal kan vi sedan finna komplexa lösningar av potensekvationer.

Potenser av komplexa tal

Om z är ett komplext tal, så kan vi skriva en potens med detta komplexa tal som bas som

$${z}^{n}$$

där n är ett positivt heltal.

I det förra avsnittet gick vi igenom räkneregeln för multiplikation av två komplexa tal, så om vi ska beräkna potensen av ett komplext tal där exponenten är lika med 2, då är ju det detsamma som att vi multiplicerar två identiska komplexa tal.

Vi antar att vi har följande komplexa tal

$$z=cos\,v+i\cdot sin\,v$$

där v = arg z. Detta är alltså ett komplext tal skrivet i polär form, där talets absolutbelopp är lika med 1.

Enligt räkneregeln för multiplikation av komplexa tal får vi då produkten

$${z}^{2}=z\cdot z=cos\,(v+v)+i\cdot sin\,(v+v)=$$

$$=cos\,2v+i\cdot sin\,2v$$

Om vi ska beräkna samma komplexa tal z upphöjt till 3, då motsvarar ju det

$${z}^{3}={z}^{2}\cdot z=cos\,(2v+v)+i\cdot sin\,(2v+v)=$$

$$=cos\,3v+i\cdot sin\,3v$$

de Moivres formel

På motsvarande sätt kan vi komma fram till att en potens där basen utgörs av det komplexa tal z, vars absolutbelopp är lika med 1, och exponenten är ett positivt heltal n, ges av följande formel:

$${z}^{n}={(cos\,v+i\cdot sin\,v)}^{n}=cos\,nv+i\cdot sin\,nv$$

där n är ett positivt heltal, v = arg z, och

$$z=cos\,v+i\cdot sin\,v$$

Denna formel kallas de Moivres formel, namngiven efter den franske matematikern Abraham de Moivre.

Om vi tillåter det komplexa talet z att ha andra absolutbelopp än 1, får vi följande allmänna formel för den sökta potensen:

$${z}^{n}={|z|}^{n}\cdot (cos\,nv+i\cdot sin\,nv)$$

där n är ett positivt heltal och v = arg z.

de Moivres formel är användbar bland annat då vi vill hitta komplexa lösningar av potensekvationer av typen

$${z}^{n}=w$$

där såväl z som w kan vara komplexa tal, eftersom vi nu enkelt kan skriva om denna ekvations vänstra led.


Beräkna potensen z3 och ange resultatet i rektangulär form

Om vi har

$$z=4\cdot \left (cos\,\frac{2\pi}{3}+i\cdot sin\,\frac{2\pi}{3} \right )$$

de Moivres formel ger oss följande:

$${z}^{3}={|z|}^{3}\cdot \left (cos\,3v+i\cdot sin\,3v \right )$$

Med

$$|z|=4$$

och

$$v=arg\,z=\frac{2\pi}{3}$$

får vi

$${z}^{3}={4}^{3}\cdot \left (cos\,\left (3\cdot \frac{2\pi}{3} \right )+i\cdot sin\,\left (3\cdot \frac{2\pi}{3} \right ) \right )=$$

$$=64\cdot \left (cos\,2\pi+i\cdot sin\,2\pi \right )=$$

$$=64\cdot \left (cos\,0+i\cdot sin\,0 \right )=$$

$$=64\cdot \left (1+i\cdot 0 \right )=64$$


Videolektion

Exempel på beräkning med de Moivres formel.

Har du en fråga du vill ställa om de Moivres formel? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se