Trigonometriska Identiteter

1. Visa att följande trigonometriska ekvationen gäller:

$$1+\tan^2(v)=\frac{1}{\cos^2(v)}$$

 

2. Bestäm konstanterna \(A\), \(B\) och \(C\), så at formeln

$$(3\cdot\sin (x)+2\cdot\cos(x))^2=A+B\cdot\sin(2x)+C\cdot\cos^2(x)$$

gäller för alla \(x\).

 

 

Lösningsförslag:

1.

Vi börjar med att utveckla vänsterledet:

$$\begin{align}1+\tan^2(v) & =1+\left (\frac{\sin(v)}{\cos(v)} \right )^{2}\\ & =1+\frac{\sin^{2}(v)}{\cos^{2}(v)} \\ & =\frac{\cos^{2}(v)}{\cos^{2}(v)}+\frac{\sin^{2}(v)}{\cos^{2}(v)}\\ &=\frac{\cos^{2}(v)+\sin^{2}(v)}{\cos^{2}(v)}\\ &=\frac{1}{\cos^{2}(v)}\end{align}$$

 

2.

$$(3\sin(x)+2\cos(x))^{2}=A+B \sin(2x)+C\cos^{2}(x)$$

Vi utvecklar vänsterledet:

$$\begin{align} & (3\sin(x)+2\cos(x))^{2} \\ &= 9\sin^{2}(x)+2\cdot 3\cdot 2\cdot \sin(x)\cos(x)+4\cos^{2}(x)\\&= 9(1-\cos^{2}(x))+6\sin(2x)+4\cos^{2}(x)\\&= 9-9\cos^{2}(x)+6\sin(2x)+4\cos^{2}(x)\\&= 9+6\sin(2x)+-5\cos^{2}(x)\end{align}$$

Detta ger att \(A = 9\), \(B = 6\) och \(C = -5\).

Har du en fråga du vill ställa om Trigonometriska Identiteter? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se