Härled kedjeregeln

Härled kedjeregeln:

$$\\y=f(u),\: u=g(x)\Rightarrow \\\\y'(x)=\frac{dy(g(x))}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)\\$$

utifrån derivatans definition:

$$\\f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\$$

Lösningsförslag:

Bilda först följande differens:

$$\\\triangle_{h}g(x)=g(x+h)-g(x)\\$$

Vi får då följande uttryck för derivatan:

$$\\g'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\triangle_{h}g(x)}{h}\\\\\\y'(x)=\frac{dy(g(x))}{dx}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\\$$

Detta uttryck kan skrivas om med den ovan definierade differensen:

$$\\\frac{dy(g(x))}{dx}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x)+\triangle_{h}g(x))-f(g(x))}{h}\\$$

Om vi förlänger uttrycket ovan med differensen kan vi identifiera derivatan av g(x):

$$\\\frac{dy(g(x))}{dx}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x)+\triangle_{h}g(x))-f(g(x))}{\triangle_{h}g(x)}\cdot \frac{\triangle_{h}g(x)}{h}\\$$

Eftersom vi antar att g(x) och f(u) är deriverbara kan vi skriva ovanstående som en produkt av två gränsvärden:

$$\\\frac{dy(g(x))}{dx}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x)+\triangle_{h}g(x))-f(g(x))}{\triangle_{h}g(x)}\cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{\triangle_{h}g(x)}{h}\\\\\\=g'(x)\cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x)+\triangle_{h}g(x))-f(g(x))}{\triangle_{h}g(x)}\\$$

För att beräkna gränsvärdet av den andra faktorn gör vi variabelsubstitutionen:

$$\\k=\triangle_{h}g(x)\\h\rightarrow0\Rightarrow k=g(x+h)-g(x)\rightarrow0\\$$

Detta ger:

$$\\\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}=f'(g(x))\\$$

Slutligen fås alltså:

$$\\y'(x)=\frac{dy(g(x))}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)\\$$

V.S.V.