Härled produktregeln

Härled produktregeln:

$$\\y(x)=f(x)\cdot g(x)\Rightarrow \\\\y'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\$$

utifrån derivatans definition:

$$\\f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\$$

Lösningsförslag:

Bilda först följande differenser:

$$\\ \triangle _{h}f(x)=f(x+h)-f(x)\\\\\triangle _{h}g(x)=g(x+h))-g(x)\\$$

Vi får då följande uttryck för derivatan:

$$\\f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\triangle _{h}f(x)}{h}\\\\g'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\triangle _{h}g(x)}{h}\\$$

$$\\y'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h}=\\\\=\lim_{h\rightarrow 0 }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\$$

Vi kan skriva om ovanstående uttryck med hjälp av de ovan definierade differenserna.

$$\\y'(x)=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{(f(x)+\triangle _{h}f(x))(g(x)+\triangle _{h}g(x))-f(x)g(x)}{h}=\\$$

$$\\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x)g(x)+\triangle_{h}f(x)g(x)+\triangle_{h}g(x)f(x)+\triangle_{h}f(x)\triangle_{h}g(x)-f(x)g(x)}{h}\\$$

$$\\=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\triangle_{h}f(x)}{h}g(x)+f(x)\frac{\triangle_{h}g(x)}{h}+\frac{\triangle_{h}f(x)}{h}\triangle_{h}g(x)=\\$$

$$\\f'(x)g(x)+f(x)g'(x)+\lim_{h\rightarrow0}f'(x)\triangle_{h}g(x)=\\\\f'(x)g(x)+f(x)g'(x)+f'(x)\lim_{h\rightarrow0}\triangle_{h}g(x)\\$$

Den sista termen går mot 0 eftersom:

$$\\\lim_{h\rightarrow0}\triangle_{h}g(x)=\lim_{h\rightarrow0}g(x+h)-g(x)=g(x+0)-g(x)=0\\$$

Detta ger slutligen:

$$\\y'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\\$$

V.S.V.