Lös ekvationen 4

Lös ekvationen \(x\sqrt{x}=3\). Svara exakt.

Lösning:

Roten ur \(x\) kan även skrivas som \(x^{\frac{1}{2}}\). Vi börjar med att göra den omskrivningen och använder oss sedan av det faktum att \(a^x\cdot a^y=a^{x+y}\):

$$x\sqrt{x}=3$$

$$x^1\cdot x^{\frac{1}{2}}=3$$

$$x^{1+\frac{1}{2}}=3$$

$$x^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}=3$$

$$x^{\frac{3}{2}}=3$$

För att bli av med exponenten till \(x^{\frac{3}{2}}\) kan vi använda oss av potensregeln \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\). Vi vill att \(\frac{3}{2}\) multiplicerat med något ska bli \(1\). Då \(\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=1\) så höjer vi upp båda led med \(\frac{2}{3}\):

$$\Big(x^{\frac{3}{2}}\Big)^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{2}{3}}$$

$$x^{\frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}}=3^{\frac{2}{3}}$$

$$x=3^{\frac{2}{3}}$$

Nu vill vi bara beräkna \(3^{\frac{2}{3}}\). Vi kan åter använda oss av potensregeln \((a^x)^y=a^{x\cdot y}\) och skriva \(3^{\frac{2}{3}}=3^{2\cdot \frac{1}{3}}=(3^2)^{\frac{1}{3}}\). Då \(3^2=9\) så har vi att \((3^2)^{\frac{1}{3}}=9^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{9}\).

Vår lösning är då \(x=\sqrt[3]{9}\).