Linjära funktioner

I det förra avsnittet bekantade vi oss med funktionsbegreppet och såg hur det kunde användas för att beskriva samband mellan variabler. I det här avsnittet ska vi lära oss om en mycket vanlig typ av funktion, som kan användas för att beskriva många olika situationer.

Om alla punkter som ingår i en funktions graf hamnar längs en rak linje då grafen ritas ut i ett koordinatsystem, kallar vi funktionen en linjär funktion.

Ett exempel på en enkel linjär funktion har vi här:

$$y(x)=x+5$$

Funktionsvärdet (värdet på y) är beroende av vad vi sätter in för värde på x.

Om vi till exempel har x = 2, så blir y = 2 + 5 = 7. Om x = 5, så blir y = 5 + 5 = 10.

Sätter vi in olika värden på x, så kan vi tydligt se sambandet i en värdetabell:

x y(x)
0 5
1 6
2 7
3 8
4 9

Räta linjens ekvation

En linjär funktion är en funktion som har en struktur enligt: 

$$y=kx+m$$

där x och y är variabler, och k och m är konstanter som avgör sambandet mellan variablerna.

Ovanstående formel kallas för räta linjens ekvation. Varje funktion med denna typ av uppbyggnad bildar en graf som kan avbildas i form av en rät linje.

Om m = 5 och k = 1 så betyder det den räta linjens ekvation är:

$$y(x)=1\cdot x+5=x+5$$

Konstanterna k och m

Vi har redan sagt att x och y är variabler. Beroende på värdet på x, så förändrats värdet på y (funktionsvärdet). Vad innebär då konstanterna k och m?

k kallas riktningskoefficient och betecknar lutningen på linjen.

Ett positivt k-värde ger en linje som lutar snett uppåt åt höger i koordinatsystemet, vilket innebär att funktionsvärdet blir större ju större värdet blir på den oberoende variabeln.

Ett negativt k-värde ger en linje som lutar snett neråt åt höger, att funktionsvärdet blir mindre ju större värdet blir på den oberoende variabeln.

Om k = 0 så har kurvan en horisontell lutning och kurvan ligger därför parallellt med x-axeln. (Notera att om k = 0, så kommer inte funktionsvärdet att vara beroende av värdet på den oberoende variabeln - funktionsvärdet kommer i det här fallet att vara detsamma, konstant, oavsett den oberoende variabelns värde.)

m kallas konstantterm eller även intercept och bestämmer var linjen skär y-axeln. m-värdet motsvarar y-värdet i den punkten där x = 0, alltså där linjen skär y-axeln.

Om m-värdet är positivt, så kommer linjen att skära y-axeln ovanför origo, och om m-värdet är negativt, så kommer skärningen att gå under origo. Om m = 0, så brukar man inte skriva ut något m-värde och då kommer linjen att gå genom origo (alltså punkten (0, 0)).

Vi ser ovan att vår exempelfunktion har k = 1 och vi kan också identifiera m-värdet som 5. Linjen som bildas då vi ritar in funktionens graf i ett koordinatsystem kommer då att skära y-axeln i punkten (0, 5), det vill säga den punkt där x = 0 och y = 5.

Räkna ut lutningen för en rät linje

Som vi skrev ovan betecknas lutningen på en rät linje som k, vilket även kallas för riktningskoefficient. Vi kommer nu gå igenom hur lutningen kan räknas ut.

Om vi vet två punkter på linjen, \( (x_1,y_1) \) och \( (x_2,y_2) \) kan vi med följande formel få fram lutningen:

$$k=\frac{\text{Förändring i y-led}}{\text{Förändring i x-led}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Vi visar detta genom att räkna ut k-värdet för vårt tidigare exempel. Från värdetabellen ovan tar vi två följande punkter: (0,5) och (3,8). Vi kallar den första punkten för punkt 1 och den andra punkten för punkt två.

$$\begin{align} (x_1,y_1) & =(0,5) \\ (x_2,y_2) & =(3,8)\end{align}$$

Stoppar vi in punkterna i formeln ovan får vi:

$$k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =  \frac{8-5}{3-0} =  \frac{3}{3} = 1 $$

Vilket stämmer, då vi vet att funktionen var y(x)=x+5.

Linjens ekvation i k-form

Har vi två punkter för en rät linje kan vi bestämma den räta linjens ekvation y=kx+m. Det första vi måste göra är att räkna ut k-värdet, det andra steget är att räkna ut m-värdet och det sista steget är att sätta in k- och m-värdet i linjens ekvation. Vi visar detta med ett exempel:

Vi fortsätter på samma exempel som vi hade tidigare, nämligen att vi har punkterna (0,5) och (3,8). Ovan räknade vi ut k-värdet till 1, så nästa steg är att räkna ut m-värdet. Det gör vi genom att vi sätter in k-värdet i den räta linjens ekvation och löser ut m:

$$y=kx+m=1\cdot x+m=x+m$$

$$m=y-x$$

Eftersom vi vet två punkter på linjen kan vi välja någon av punkterna och stoppa in den i ekvationen, vi väljer (3,8):

$$m=8-3=5$$

Vi vet nu att k=1 och m=5, vilket vi stoppar in i den räta linjens ekvation:

$$y=kx+m=1\cdot x + 5=x+5$$

Linjen ekvation är y=x+5, och det kallas linjens ekvation i k-form.

Linjens ekvation i enpunktsform

Känner vi till k-värdet och en punkt för en rät linje kan vi bestämma den räta linjens ekvation och detta görs med hjälp av enpunktsformen. Den räta linjens ekvation i enpunktsformen är:

$$(y-y_1)=k(x-x_1)$$

För att lättare förstå enpunktsformen går vi igenom ett exempel och vi använder oss av samma exempel som tidigare. Från ovan vet vi att formeln för att räkna ut lutningen är:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Från exemplet vet vi att k=1 och vi tar punkten (x1,y1)=(3,8). För alla punkter på den räta linjen gäller det att:

$$k=\frac{y-y_1}{x-x_1}$$

För vårt exempel gäller då:

$$1=\frac{y-8}{x-3}$$

Vi multiplicerar upp nämnaren och får:

$$1\cdot(x-3)=y-8$$

Vilket är den räta linjens ekvation i enpunktsformen. Från detta steg kan vi räkna ut den räta linjens ekvation i k-form genom att lösa ut y, vilket i vårt fall är:

$$y=x-3+8=x+5$$

Skissa linjära funktioners grafer

Att en ekvation är linjär innebär bland annat att om vi tar två punkter, drar en linje mellan dem, så vet vi att linjen kommer att fortsätta med samma lutning både före och efter respektive punkt. Vi kan utifrån vårt tidigare exempel, y(x)=x+5, börja med punkten (0, 5), det vill säga där linjen skär y-axeln. Därefter tar vi ytterligare en punkt. Vi kan till exempel välja den sista punkten i värdetabellen som är (4,9), och därefter binda samma de båda punkterna med hjälp av en linje:

Linjära funktioner 01

Linjära funktioner 02

Vi kan sedan dra ut linjen både före och efter punkterna, och därigenom få hela den linje som definieras av funktionen y(x) = x + 5:

Linjära funktioner 03

Om funktionen saknar m-värde (det vill säga att dess m-värde är noll) kan den skrivas som

$$y=kx$$

Detta specialfall av en linjär funktion kallas för en proportionalitet. Vi har tidigare stött på ett exempel på en proportionalitet, i exemplet där vi beskrev Annas intjänade lön som en funktion av hur många timmar hon arbetat. Hennes lön var i detta exempel proportionell mot hur många timmar hon arbetat.

Videolektioner

Här går vi igenom linjära funktioner och k-värdet.

Här går vi igenom linjära funktioner och m-värdet.

Här går vi igenom hur vi kan med hjälp av k-formen bestämma den räta linjens ekvations.

Här går vi igenom hur vi kan med hjälp av enpunktsformen bestämma den räta linjens ekvation.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Linjära funktioner? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!