Parallella och vinkelräta linjer

Ibland kan man misstänka att två räta linjer är parallella eller vinkelräta från när man tittar på dem i en graf. I detta avsnitt lär vi oss hur vi kan säkerställa om två linjer är parallella eller vinkelräta genom algebraiska beräkningar.

Om vi har två linjära funktioner som vi kallar \(y_1\) och \(y_2\):

\begin{align}
y_1 (x) &= k_1 x + m_1\\
y_2 (x) &= k_2 x + m_2
\end{align}

Så kommer de räta linjerna som funktionerna beskriver vara parallella endast om de har samma \(k\)-värde, \(k_1=k_2\). \(k\) anger linjens lutning och är lutningen densamma så är de parallella. Två linjer som är parallella kommer aldrig skära varandra.

Linjerna är vinkelräta endast om \(k_1\cdot k_2=-1\), eller med andra ord, om \(k_1=\normalsize{-\frac{1}{k_2}}\). Bevisen för dessa två kriterier kommer att ges i en senare kurs.

Exempel

Vi har följande tre linjer som vi vill jämföra för att se om de är parallella eller vinkelräta mot varandra.

\begin{align}
y_1&= 3x-5\\
y_2&= 3x -2\\
y_3&=-\frac{x}{3}+10
\end{align}

Linjerna \(y_1\) och \(y_2\) har samma \(k\)-värde som är lika med \(3\). Det betyder att linjerna kommer vara parallella.

\(y_3\) har \(k\)-värdet \(\normalsize{-\frac{1}{3}}\), och om vi multiplicerar \(k\)-värdena för \(y_1\) och \(y_3\) får vi:

$$3\cdot(-\frac{1}{3})=-1$$

Det betyder att \(y_3\) kommer vara vinkelrät mot \(y_1\). Eftersom \(y_1\) och \(y_2\) är parallella, betyder det även att \(y_3\) och \(y_2\) kommer vara vinkelräta mot varandra.

Om vi ritar dessa linjer i ett koordinatsystem får vi följande figur:

Har du en fråga du vill ställa om Parallella och vinkelräta linjer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se
  • Parallell – Två parallella linjer skär aldrig varandra. Två räta linjer är parallella endast om de har samma \(k\)-värde.
  • Vinkelrät – Två linjer som skär sig med en vinkel på \(90\) grader är vinkelräta. Om \(k\)-värdena:
    $$k_1\; \text{och}\;k_2\;\text{för de två linjerna uppfyller}\;k_1=-\frac{1}{k_2}\; \text{är de vinkelräta.}$$
  • Linjär funktion: Är en funktion som har formen \(f(x)=kx+m\), där \(y=f(x)\).