Pythagoras sats

En av de mest kända matematiska satserna är den så kallade Pythagoras sats, som ger oss ett samband mellan en rätvinklig triangels tre sidor. Detta är en sats som man kan få användning för i väldigt många olika sammanhang, då man har att göra med rätvinkliga trianglar.

Pythagoras sats

En rätvinklig triangel består av två kortare sidor, som vi kallar kateter, och en längre sida, som vi kallar hypotenusa. De två kateterna möts i en rät vinkel (alltså 90°) och hypotenusan är motstående till den räta vinkeln. I figuren nedan ser du en typisk rätvinklig triangel, med kateterna och hypotenusan markerade:

Pythogoras Sats

I varje rätvinklig triangel råder, enligt Pythagoras sats, följande samband mellan längden på triangelns sidor:

$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$$

där a och b är längderna på kateterna, och c är längden på hypotenusan.

Det vill säga, summan av kateternas kvadrater är lika med hypotenusan i kvadrat.

När vi använder Pythagoras sats är det jätteviktigt att vi inte blandar ihop vilken sida som är hypotenusan och vilka sidor som är kateter.


Låt oss titta på ett exempel på hur vi kan använda oss av Pythagoras sats

Säg att vi vet att de två kateterna i en rätvinklig triangel har längderna 5 cm respektive 7 cm. Hur lång är då hypotenusan?

Om hypotenusan är x cm lång, ger Pythagoras sats att

$$5^{2}+7^{2}=x^{2}$$

$$25+49=x^{2}$$

$$x^{2}=74$$

$$x=\pm \sqrt{74}$$

$$x\approx \pm 8,6$$

Eftersom längden på en sträcka inte kan vara negativ, får vi att hypotenusans längd är ungefär 8,6 cm.


Vi tar oss an ytterligare ett exempel

Vi har en rätvinklig triangel, där vi vet att den ena kateterns längd är 3 cm och där hypotenusans längd är 5 cm. Utifrån denna information kan vi genom att använda Pythagoras sats få fram längden på den andra katetern. Vi sätter in de värden vi har i Pythagoras sats och benämner längden på den okända sidan x cm.

$$3^{2}+x^{2}=5^{2}$$

$$9+x^{2}=25$$

$$9+x^{2}\color{Red}{ -9}=25\color{Red}{ -9}$$

$$x^{2}=16$$

$$x=\pm \sqrt{16}$$

$$x=\pm 4$$

Eftersom längden på en sträcka inte kan vara negativ, får vi att längden på den sökta kateten är 4 cm.


Pythagoreiska tripplar

Tre positiva heltal x, y och z, som uppfyller Pythagoras sats så att

$$x^{2}+y^{2}=z^{2} $$

kallas för en pythagoreisk trippel. Det finns oändligt många pythagoreiska tripplar, exempel på de är 3:4:5 eller 5:12:13.

I det sista räkneexemplet i avsnittsdelen här ovan såg vi ett exempel på en pythagoreisk trippel, eftersom sidorna i triangeln hade längderna 3, 4 och 5 cm. Denna typ av triangel kallas för egyptisk triangel.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Pythagoras sats? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!