Distributiva lagen

Vi har i tidigare avsnitt gått igenom hur man förenklar uttryck och hur man löser ekvationer. Ett verktyg som kan vara till stor hjälp när man gör dessa förenklingar och löser dessa ekvationer är den räknelag som kallas för den distributiva lagen.

Låt säga att man har ett tal som man vill multiplicera med en parentes. Denna parentes innehåller flera termer. Den distributiva lagen säger då, för att multiplicera talet med parentesen måste man multiplicera talet med varje term som finns i parentesen. Vi börjar med ett exempel:

Exempel 1:

Låt säga att vi har \(5\) godisskålar. I varje godisskål finns det \(4\) geléhallon och \(7\) kolor. Hur många godisar har vi sammanlagt? Detta problem kan man lösa på flera vis.

Ett sätt är att addera godisarna i en skål och multiplicera den summan med antalet skålar, det vill säga man beräknar följande:

$$5\cdot (4+7)$$

Ett annat sätt är att man först räknar ut hur många geléhallon man har, sen räknar man ut hur många kolor som finns. Slutligen adderar man antalet geléhallon med antalet kolor. Den beräkningen ser ut så här:

$$5\cdot 4+5\cdot 7$$

Oavsett vilket av de två beräkningssätten man använder så ska man komma fram till samma svar, så man kan skriva följande likhet:

$$5\cdot (4+7)=5\cdot 4+5\cdot 7$$

Geometrisk form av distributiva lagen

Likheten i “Exempel 1” ovan är ett exempel på den distributiva lagen. Allmänt kan man skriva den distributiva lagen som

$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Där \(a\), \(b\) och \(c\) är godtyckliga tal. För att få bättre förståelse kan vi illustrera distributiva lagen med hjälp av geometri:

Vi ser att \(a\cdot(b+c)\) motsvarar en yta som är lika stor som summan av ytorna \(a\cdot b\) och \(a\cdot c\).

Det kan ju vara så att man har fler än \(2\) termer i parentesen, men det gäller alltid att den faktor som multipliceras med parentesen måste multipliceras med alla termer.

Minustecken framför en parentes

När man vill multiplicera in ett tal i en parentes är det viktigt att man kommer ihåg att multiplicera talet med alla termer som finns i parentesen. Ytterligare en sak som är viktig att notera är om det finns ett minustecken framför parentesen så kommer alla tecken i parentesen ändras när talet multipliceras in. Låt oss ta ett exempel då vi har ett minustecken framför en parentes.

Exempel 2:

Alma har ett födelsedagskalas och det är \(15\) barn på kalaset. Plötsligt ringer det på dörren och en förälder kommer för att hämta barn. Föräldern ska hämta sina egna tre barn samt sina \(2\) kusinbarn. Hur många barn kommer vara kvar på kalaset efter att föräldern åkt?

Även här kan man beräkna på olika sätt, om man först räknar ihop hur många barn som ska hämtas sammanlagt och sen subtraherar detta från antalet barn på kalaset får man följande uttryck:

$$15-(3+2)$$

Det andra sättet man kan göra är att först subtrahera förälderns egna barn och sen subtrahera de två kusinbarnen som också ska hämtas. Då ser beräkningen ut så här:

$$15-3-2$$

Båda dessa uttryck beskriver samma situation, när man vill beräkna hur många barn som kommer vara kvar på kalaset. Därför gäller följande likhet:

$$15-(3+2)=15-3-2$$

Här kan man se att den enda skillnaden då parentesen försvann var att tecknen i parentesen ändrats. Innan var både tvåan och trean positiva och nu är de båda negativa. Vi kan se det som att vi multiplicerat varje tal inom parentesen med \(-1\), det vill säga vår beräkningen har varit \(15+(-1\cdot 3)+(-1\cdot 2)=15-3-2\)

Hade vi haft minustecken i parentesen skulle dessa bli plus om det var ett minus framför parentesen, detta då produkten av två minustecken blir ett plus. Exempelvis \((-1)\cdot(-1)=1\).

De två viktigaste sakerna att komma ihåg när man multiplicerar ett tal med en parentes är alltså följande:

• Multiplicera talet med alla termer i parentesen
• Om det står ett minustecken framför parentesen så kommer alla tecken i parentesen att ändras, plus blir minus och minus blir plus.

Faktorisering med den distributiva lagen

Tidigare har vi främst fokuserat på hur man gör så att ett uttryck på formen \(a(b+c)\) blir till ett uttryck utan faktorer, det vill säga det skrivs istället som \(ab+ac\). Ibland vill man faktorisera ett uttryck, det vill säga man går från \(ab+ac\) till \(a(b+c)\). Då måste man se till att de olika termerna har en gemensam faktor som man kan bryta ut. Ett sätt att se på det är att det måste finnas ett tal som kan dela alla termer jämnt. Vi tar ett exempel:

Låt oss ta följande uttryck:

$$2x^2+6x$$

Det här uttrycket vill vi faktorisera så långt som möjligt. Därför vill vi se om det finns något tal som båda termer är delbara med? Det går ganska lätt att se att alla faktorer innehåller \(x\) och det skulle därför vara möjligt att dividera båda termer med \(x\):

$$\begin{equation}
\begin{split}
&\text{Första term:} &\,\, \frac{2x^2}{x} &= 2x\\ \\
&\text{Andra term:} &\,\, \frac{6x}{x} &= 6\\
\end{split}
\end{equation}$$

Därför kan vi bryta ut faktorn \(x\) ur uttrycket:

$$2x^2+6x=x(2x+6)$$

Vi är inte klara där, för om man tittar på termerna i parentesen kan man se att både \(2\) och \(6\) är jämna tal, så därför kan man också bryta ut \(2\). Vi gör det och får då följande uttryck:

$$2x^2+6x=x(2x+6) = 2x(x+3)$$

Då har vi faktoriserat uttrycket så långt som möjligt.

När man ska faktorisera ett uttryck gäller det alltså att bryta ut en faktor som alla termer i uttrycket har gemensamt. Dessa faktorer kan man hitta genom att kontrollera om det finns något tal som går att dela alla termer med. Finns det ett sådant tal kan man bryta ut det ur uttrycket.

Multiplikation av två parenteser

Det finns också tillfällen då det inte är ett tal som multipliceras med en parentes, utan det är en parentes som multipliceras med en annan parentes. Vi använder oss även då av den distributiva lagen. Det är samma princip som tidigare; alla termer i första parentesen måste multipliceras med alla termer i den andra parentesen, på följande vis:

Resultatet efter multiplikation av de två parenteserna ovan ger:

$$(\color{#48A23F}{a}+\color{#009FDF}{b})(c+d)=\color{#48A23F}{a}c+\color{#48A23F}{a}d+\color{#009FDF}{b}c+\color{#009FDF}{b}d$$

Samma sak gäller om det är fler än två termer i någon parentes, kom bara ihåg att alla termer i den ena parentesen måste multipliceras med varje term i den andra parentesen!

Vi tar ett exempel på hur detta kan se ut:

Multiplicera ihop följande två parenteser:

$$(2+x)(3+x+y)$$

För att multiplicera ihop parenteserna gäller att vi multiplicerar \(2\)an från den första parentesen med varje term i den andra parentesen, och detsamma gäller för \(x\):et i den första parentesen; det måste också multipliceras med varje term i den andra parentesen. Vi får då följande:

$$\begin{align} (\color{#48A23F}{2}+\color{#009FDF}{x})(3+x+y) &=\\ &= \color{#48A23F}{2}\cdot3+\color{#48A23F}{2}\cdot x+\color{#48A23F}{2}\cdot y+\color{#009FDF}{x}\cdot3+\color{#009FDF}{x}\cdot x+\color{#009FDF}{x}\cdot y=  \end{align}$$

$$\begin{equation} \begin{split} \hspace{4.6cm} &= 6+2x+2y+3x+x^2+xy &=\\ &= x^2+5x+2y+xy+6 \end{split} \end{equation}$$

Användning av den distributiva lagen

Den distributiva lagen kan man ibland vilja använda för att bli av med en parentes och gå från att ha faktorer till att ha termer. Ett exempel på ett sådant tillfälle är om man vill förenkla följande uttryck:

$$4x+8(x-2)$$

Om man då använder sig av den distributiva lagen och multiplicerar \(8\) med varje term i parentesen blir det:

$$\begin{align} 4x+8x-16 &=\\ &= 12x-16 \end{align}$$

Andra gånger kan man vilja faktorisera ett uttryck med hjälp av den distributiva lagen, det vill säga att man har ett uttryck som består av flera termer men man vill bryta ut en faktor som dessa termer har gemensamt. Vill vi förenkla kommande uttryck så använder vi oss av den distributiva lagen på det sättet:

$$\frac{2x+4x^2+x^3}{x}$$

Det här uttrycket har \(x\) i alla termer som finns i bråkets täljare. Vi kan därför bryta ut \(x\) ut täljaren:

$$\frac{x\cdot(2+4x+x^2)}{x}$$

Nu har vi faktoriserat täljaren och då både täljare och nämnare har en faktor \(x\) så tar dessa två ut varandra. Kvar får vi då

$$2+4x+x^2$$

Den distributiva lagen är därför väldigt användbar, både då man vill bli av med parenteser och då man vill faktorisera ett uttryck. Distributiva lagen kan också användas vid huvudräkning.

Exempel 3:

Vi vill beräkna \(5\cdot14\). Med hjälp av distributiva lagen kan vi skriva om \(14\) som summan av \(10\) och \(4\). Detta ger:

$$\begin{equation} \begin{split} 5\cdot14 &=\\ &= 5\cdot(10+4) &=\\ &= 5\cdot10+5\cdot4 &=\\ &= 50+20 &=70 \end{split} \end{equation}$$

Exempel 4:

Vi vill beräkna \(5\cdot98\). Med hjälp av distributiva lagen kan vi skriva om \(98\) som differensen mellan \(100\) och \(2\). Detta ger:

$$\begin{equation} \begin{split} 5\cdot98 &=\\ &= 5\cdot(100-2) &=\\ &= 5\cdot100-5\cdot2 &=\\ &= 500-10 &=490 \end{split} \end{equation}$$

Huvudregeln är att försöka ta närmaste \(10\)-, \(100\)-, \(1000\)-, osv, tal eftersom det är enkelt att multiplicera med dem. Sedan lägger vi till eller drar bort resten.

Det finns några saker som är viktiga att komma ihåg då man använder sig av distributiva lagen:

• Ska man multiplicera in ett tal i en parentes måste detta tal multipliceras med alla termer i parentesen.
• Ska man multiplicera ihop två parenteser måste alla termer i den första parentesen multipliceras med varje term i den andra parentesen.
• För att kunna faktorisera ett uttryck som består av termer så måste alla termer ha det man bryter ut gemensamt. Alla termer måste exempelvis kunna divideras med \(2\) för att man ska kunna bryta ut \(2\).
• Finns det ett minustecken framför en parentes och man ska göra sig av med parentesen kommer alla tecken i parentesen att förändras, det vill säga plus blir minus och minus blir plus.