Förändringar i procent

I detta avsnitt repeterar vi procenträkning och procentuella förändringar.

Procent betyder hundradel och betecknas med \(\%\)-tecknet. Exempelvis betyder \(5\,\%\) att vi har delat något i hundra delar och tagit fem av de delarna. I bråkform skriver vi detta som \(\frac{5}{100}\) och i decimalform som \(\small{0,05}\). Detta förhållande kallas också för andelen och brukar skrivas:

$$Andelen=\frac{Delen}{Hela}$$

Om vi känner till andelen och vet hur mycket det hela är, så kan man bestämma hur stor delen är genom att lösa ut Delen ur formeln. Vi får:

$$Delen = Andelen\cdot Hela$$

Exempel 1:

4 kompisar köper en lott tillsammans och vinner 10000 kronor. Om varje person har betalat \(\frac{1}{4}\) del av lottpriset så äger de \(\frac{1}{4}\) av lotten.
Varje person måste få sin andel som är \(\frac{1}{4}=\small{0,25}=\small{25}\,%\) av vinsten också.

För att kunna räkna \(\small{25}\,\%\) av vinsten måste vi omvandla från \(\%\)-form till decimalform först:

$$25\,\%=\frac{25}{100}=0,25$$

Varje person får:

$$25\,\% \,\texttt{av} =0,25\cdot10000= 2500\, \texttt{kronor}$$

Svar: Varje person får sin del som är \(\small{2500}\) kronor.

Om man vet andelen och vet hur stor delen är kan man också räkna ut hur stor det hela är genom att lösa ut Hela ur formeln:

$$Hela=\frac{Delen}{Andelen}$$

Exempel 2:

Anna har lånat pengar från banken för att köpa en bil. Anna har glömt hur mycket hon är skyldig till banken. Hon vet att räntan är \(\small{5}\,\%\) och att hon betalar \(\small{4000}\) kronor. Hur mycket är hon skyldig banken?

$$Hela=\frac{Delen}{Andelen}=\frac{4000}{80000}\, \texttt{kronor}$$

Svar: Hon är skyldig \(\small{80000}\) kronor till banken.

Procent används också för att ange storleken på en förändring. Affärer brukar skriva \(\small{50}\,\%\) rea i sina annonser. Eftersom \(\small{50}\,\% = \frac{50}{100} =\frac{1}{2}\) så innebär detta att man ska betala hälften av ordinariepriset. Om exempelvis en jacka kostar \(\small{1000}\, kr\) så kommer den kosta \(\small{500}\) kronor efter rean.

Om vi vill räkna förändringen i procent så delar vi värdet på förändringen med det ursprungliga värdet. Om exempelvis en produkt som kostar \(\small{800}\) kronor säljs för \(\small{600}\) kronor så blir den procentuella förändringen:

$$\begin{align} \frac{\texttt{Förändringen}}{\texttt{Ursprungliga värdet}}=\frac{800-600}{800} &=\\ &= \frac{200}{800}= 0,25 &=\\ &= \frac{25}{100} = 25\,\% \end{align}$$

Svar: Priset har minskat med \(\small{25}\,\%\).

Det är viktigt att ange om förändringen var minskning eller ökning.

Ibland anges förändringar i procentenheter. Detta används när man vill beskriva förändringen mellan två procentuella värden.

$$\texttt{Förändringen i procentenheter} = \texttt{Nya procentsatsen} - \texttt{gamla procentsatsen}$$

Exempel 3:

Räntan ökar från \(\small{2,5}\,\%\) till \(\small{3,0}\,\%\).
a) Bestäm förändringen i procentenheter

$$\texttt{Förändringen i procentenheter}= \texttt{Nya procentsatsen} - \texttt{gamla procentsatsen}=$$

$$=3,0\, \% - 2,5\, \%= 0,5\, \texttt{procentenheter}$$

Svar: Räntan har ökat med \(\small{0,5}\) procentenheter.

b) Bestäm förändringen i procent.

$$\begin{align} \frac{\texttt{Förändringen}}{\texttt{Ursprungliga värdet}}=\frac{3,0\,\%-2,5\,\%}{2,5\,\%} &=\\ &= \frac{0,5\,\%}{2,5\,%}= 0,2 &=\\ &= \frac{20}{100} = 20\,\% \end{align}$$

Svar: Förändringen i procent ökat med \(\small{20}\, \%\).

Det är viktigt att skilja på förändringar i procentenheter och förändringar i procent.

Promille

För att visa mindre förändringar används också tusendelar. Detta kallas för Promille och betecknas med \(‰\)-tecknet. Exempelvis betyder \(2\,‰\) att vi har delat något i tusendelar och tagit två av de delarna. I bråkform skriver vi detta som \(\frac{2}{1000}\) och i decimalform som \(\small{0,002}\). Samma beräkningar som för procent gäller också för promille.

Ppm

För ännu mindre förändringar används ppm som står för parts per million som betyder miljondel. Exempelvis betyder \(4\, ppm\) att vi har delat något i miljondelar och tagit \(4\) av de delarna. I bråkform skrivs detta \(\frac{4}{1\,000\,000}\) och i decimalform som \(\small{0,000004}\). Samma beräkningar som för procent gäller också för ppm.

Har du en fråga du vill ställa om Förändringar i procent? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se

Här går vi igenom Procent, delen och det hela.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

  • Procent – hundradelar.
  • Promille – tusendelar.
  • Ppm – parts per million, miljontedelar.