Ekvationslösning

I det här avsnittet bygger vi vidare på vad vi tidigare lärt oss om formler och ekvationer, och går igenom ett antal exempel på hur man löser ekvationer.

Vi börjar med att formulera en ekvation utifrån en konkret situation

Om vi har varit i affären och köpt bananer för 36 kronor och vet att priset var 6 kr per kg, så kan vi räkna ut hur många kilo bananer vi har köpt. Om vi betecknar antalet kilo bananer vi köpt med x, så kan vi ställa upp en ekvation som beskriver förhållandet:

$$6x=36$$

Ekvationen ovan kan man alltså tolka så här: vi har köpt x kg bananer, där varje kg bananer kostar 6 kr; totalt kostade bananerna 36 kr.

Vi har tidigare lärt oss att vi kan förändra leden i en ekvation, så länge vi gör samma sak i båda leden, det vill säga vi utför samma räkneoperationer på uttrycken på båda sidorna om likhetstecknet.

Genom att addera eller subtrahera en term på båda sidorna om likhetstecknet kan man skriva om ekvationen, så att variabeln står ensam i det ena ledet. Det kan också förekomma att man får lov att multiplicera eller dividera båda leden med ett tal.

Det viktiga här är att man utför samma räkneoperation på såväl hela det vänstra ledet som hela det högra ledet - därigenom bevaras likheten mellan leden. Vi måste vara noga med att uttrycket i vänster led ska vara lika med uttrycket i höger led såväl före som efter att vi utfört en räkneoperation.


Här följer några exempel på lösning av enkla ekvationer

I ekvationen nedan adderar vi 4 till uttrycken i båda leden för att få x ensamt i vänster led:

$$x-4=5$$

$$x-4+4=5+4$$

$$x=9$$


I följande ekvation subtraherar vi 5 från uttrycken i båda leden och får x ensamt

$$x+5=6$$

$$x+5-5=6-5$$

$$x=1$$


I nästa exempelekvation multiplicerar vi uttrycken i båda leden med 8 för att lösa ut x

$$\frac{x}{8}=9$$

$$8\cdot \frac{x}{8}=9\cdot 8$$

$$x=72$$


Slutligen tittar vi på ett exempel där vi dividerar uttrycken i båda leden med 10 för att få ut x

$$10x=20$$

$$\frac{10x}{10}=\frac{20}{10}$$

$$x=2$$


Om vi går tillbaka till vårt exempel med bananinköpet

Nu kan vi räkna ut hur många kilo bananer vi köpte. Vi dividerar uttrycken i både vänster och höger led med 6, så att x (antal kg bananer) står ensamt i det vänstra ledet:

$$6x=36$$

$$\frac{6x}{6}=\frac{36}{6}$$

$$x=6$$


De exempel vi tog upp ovan gick att lösa i ett steg genom att tillämpa en räkneoperation på uttrycken i båda leden. Det går även att lösa mer komplicerade ekvationer med samma princip men i flera steg. Det är då viktigt att komma ihåg att man alltid multiplicerar och dividerar alla termer i båda leden. Att glömma bort att man ska multiplicera eller dividera hela vänstra och hela högra ledet är ett vanligt räknefel, som vi bör se upp med.


Låt oss ta ett exempel på lösning av en flerstegsekvation

$$3x+6=9$$

Vi börjar med att försöka få 3x-termen att stå ensam i vänsterledet. Det lyckas vi med genom att vi subtraherar uttrycken i båda leden med 6. Vi får:

$$3x+6 \;{\color{Red} -\; 6}=9 \;{\color{Red} -\; 6}$$

$$3x=3$$

I nästa steg vill vi bli av med 3:an framför x:et. Vi gör oss av med 3:an genom att dividera uttrycken i båda leden med 3. Detta är det sista steget vi behöver utföra för att få x att stå ensamt i vänster led:

$$\frac{3x}{3}=\frac{3}{3}$$

$$x=1$$


Prövning

För att kontrollera att lösningen vi kommit fram till är den rätta så kan vi pröva lösningen. Att pröva en lösning innebär att vi överallt i ekvationen där det står x sätter in det värde på x som vi kommit fram till. Om likheten i ekvationen då gäller, då har vi hittat en giltig lösning på ekvationen.

Tidigare i det här avsnittet hade vi följande ekvation

$$x-4=5$$

som vi kom fram till har lösningen

$$x=9$$

För att pröva denna lösning, byter ut x:et i ekvationen mot 9 och får att

$$*VL=x-4=9-4=5$$

och

$$*HL=5$$

vilket ger att

$$*VL=HL$$

*VL= vänsterled, HL=högerled

Alltså stämde lösningen.

Att använda sig av prövning är ett bra sätt att kontrollera att man inte gjort räknefel. Om vi hade kommit fram till en "lösning" på ekvationen som inte bevarar likheten mellan vänster led och höger led när vi sätter in värdet på variabeln, då måste vi ha räknat fel någonstans.

Ekvationer med variabler i båda leden

Om en ekvation innehåller variabler i uttrycken i båda leden (alltså i såväl vänster led som höger led), löser vi ekvationen genom att först försöka samla alla variabler på samma sida.

Exempelvis kan vi ha ekvationen

$$5x=380-42x$$

Det vi gör är då att addera 42x till båda leden, så att vi inte längre har några x-termer i det ena ledet (i det här fallet, det högra ledet):

$$5x\;{\color{Red} +\;42x}=380-42x\;{\color{Red} +\;42x}$$

$$47x=380$$

Härifrån gör vi precis som tidigare och delar uttrycken i båda leden med 47, för att få x:et i vänstra ledet ensamt, vilket ger:

$$\frac{47x}{47}=\frac{380}{47}$$

$$x=\frac{380}{47}\approx 8,09$$

Ekvationer med variabel i nämnaren

I vissa ekvationer finns variabeln i nämnaren av ett bråkuttryck. Precis som tidigare gäller det att man gör samma räkneoperationer på båda sidorna för att bevara likheten. Om vi har ekvation

$$\frac{10}{x}=5$$

multiplicerar vi hela ekvationen (uttrycken i vänster led och uttrycken i höger led) med x och får att

$$\frac{10}{x}=5\Rightarrow \frac{10\cdot x}{x}=5\cdot x\Rightarrow 10=5x$$

Härifrån kan vi lösa ut x genom att dividera hela ekvationen med 5 och får att

$$\frac{10}{5}=\frac{5x}{5}\Rightarrow x=2$$

Som vi ser i beräkningen vi utförde ovan, försvann x:et i nämnaren - vi fick ett uttryck som inte längre var ett bråkuttryck. Det här är en återkommande räknemetod som används för att hantera variabler som finns i nämnaren i ekvationer - genom att man multiplicerar hela ekvationen med det som står i nämnaren, kan man lättare gå vidare i försöket att lösa ekvationen.

Allmän lösning av linjära ekvationer

I det här avsnittet har vi hittills gått igenom ekvationer av första graden, det vill säga ekvationer där variabeltermen x är av graden 1, till skillnad från andragradsekvationer som innehåller minst en x2-term. Förstagradsekvationer kallas vanligtvis linjära ekvationer.

Alla linjära ekvationer kan (efter eventuell förenkling) skrivas på formen

$$ax+b=0$$

$$a \neq 0$$

Den allmänna lösningen till linjära ekvationer fås av att vi från ekvationen

$$ax+b=0$$

först subtraherar b från uttrycken i båda leden

$$ax+b\;{\color{Red} - \;b}=0\;{\color{Red} - \;b}$$

vilket ger oss

$$ax=-b$$

Härnäst dividerar vi uttrycken i båda leden med a, för att få x ensamt i det vänstra ledet:

$$\frac{ax}{a}=-\frac{b}{a}\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$$

Vi sammanfattar vad vi kom fram till:

Om vi har en förstagradsekvation skriven på formen

$$ax+b=0$$

där x är en variabel, och a och b är konstanter, då har ekvationen en lösning

$$ x=-\frac{b}{a}$$

Videolektion

Här går vi igenom ekvationslösning och räknar på exempel.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Ekvationslösning? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!