Klot, kon och pyramid

I det förra avsnittet gick vi igenom hur man beräknar volymen av några grundläggande geometriska kroppar: rätblock, prisma och cylinder. I det här avsnittet ska vi fortsätta med att hitta sätt att beräkna volymen och arean av klot, koner och pyramider.

Klot/sfär

Ett klot eller en sfär är en tredimensionell kropp som har formen av en boll. Dess yta kallas för klotyta och den cirkel som går runt mitten på klotet kallas för storcirkel. Radien är avståndet mellan klotets mittpunkt och klotytan.

Arean för ett klot (klotytans area) beräknas enligt formeln:

$$A_{klot}=4\cdot \pi \cdot r^{2}$$

Volymen för ett klot beräknas enligt formeln:

$$V_{klot}=\frac{4\cdot \pi \cdot r^{3}}{3}$$

Kon

En kon utgörs av en basyta och en mantelyta. Mantelytan bildas genom att punkter längs basytans ytterkant förbinds med en punkt som ligger ovanför basytan.

Ett vanligt förekommande specialfall av kon är en cirkulär kon, vilket är en kon med en cirkelyta som basyta (ligger den cirkulära konens spets dessutom rakt ovanför cirkelns mittpunkt, då kallar man konen en rak cirkulär kon - detta är vad man avser när man i vardagligt tal säger en "kon"). I de fall där basytan har formen av en polygon (månghörning), då kallar vi konen en pyramid.

En cirkulär kons volym är precis en tredjedel av volymen av en cylinder som har samma basarea och höjd som den cirkulära konen. Formeln för en cirkulär kons volym blir därför:

$$V_{cirkulär\,kon}=\frac{\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3} $$

Mantelytans area bestäms av sträckan från basytans ytterkant till konens spets och basytans radie:

$$Mantelarea_{cirkulär\,kon} = \pi\cdot r\cdot s$$

Pyramid

Som vi nämnde ovan, är en pyramid ett specialfall av en kon, där basytan har formen av en månghörning. Pyramider kan ha olika former på basytan, eftersom denna yta ska ha formen av en månghörning, men de vanligast förekommande pyramiderna är de vars basyta har formen av en triangel eller en rektangel (till exempel kvadrat).

På samma sätt som den cirkulära konens volym är proportionell till en cylinders volym, är pyramidens volym proportionell till ett prismas volym. Ett prisma har tre gånger så stor volym som en pyramid med samma höjd och basarea. Volymen beräknas enligt:

$$V_{pyramid}=\frac{basytan\cdot höjden} {3}$$

Videolektioner

Här går vi igenom hur vi beräknar volymen och arean för ett klot.

Här går vi igenom hur vi beräknar volymen och arean av en rak cirkulär kon.

Vi beräknar volymen på Cheops pyramid.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.