Sönderfall radon
Radioaktiva ämnen såsom, radon och uran, minskar sin mängd exponentiellt. Säg att vi hade 100 gram radon från början. Efter 4 dagar har mängden radon minskat till 48,20 gram.
a) Ställ upp en funktion som beskriver radons sönderfall för detta fall. Låt \(x=\) antalet dagar och \(f(x)\) vara mängden radon.
b) Hur lång tid tar det för den ursprungliga mängden radon att halveras? Svara med en decimal
a) Att radon sönderfaller exponentiellt innebär att vi kan beskriva mängden med en exponentialfunktion:
$$f(x)=C\cdot a^x$$
Här vet vi att vi började med 100 gram, så \(C=100\). Förändringsfaktorn kan uttryckas på flera sätt men här vill vi beskriva sönderfallet per dag. Vi beräknar förändringsfaktorn:
$$\frac{48,20}{100}=0,482$$
Detta är på 4 dagar. Radon minskar med faktorn \(a\) per dag och detta har skett fyra gånger så:
$$a^4=0,482$$
$$\Rightarrow a=0,482^{\frac{1}{4}}\approx 0,83322$$
Dvs. mängden minskar med ca. 16,7% per dag.
Så en modell ges av:
$$f(x)=100\cdot 0,83322^x$$
b) Mängden radon ska halveras. Med hjälp av en miniräknare kan vi beräkna hur lång tid det tar på ett ungefär att halvera mängden.
Vi vet att mängden minskar med lite mer under 4 dagar (ner till 48,20%). Så \(x\) bör vara nära 4.
Låt oss testa lite värden:
\(\underline{x\hspace{3cm} f(x)\hspace{4.5cm}}\)
3,9 \(\hspace{1cm}100\cdot 0,83322^{3,9}=49,08...\)
3,8 \(\hspace{1cm}100\cdot 0,83322^{3,8}=49,985...\)
3,7 \(\hspace{1cm}100\cdot 0,83322^{3,7}=50,906...\)
Vilket låg längre ifrån. Antalet dagar är alltså på ett ungefär:
$$x\approx 3,8 dagar$$