Enhetscirkeln

Punkten \(P\) har \(x\)-koordinaten \(-\frac{1}{2}\), vilket betyder att \(\cos(v)=-\frac{1}{2}\). Bestäm alla lösningar till ekvationen \(\cos(v)=-\frac{1}{2}\) och ange sedan den lösning för \(v\) som visas i figuren.

Lösningsförslag:

Vi ska först hitta alla lösningar till \(\cos(v)=-\frac{1}{2}\). För att lösa ekvationen gör vi följande:

$$\begin{align}\arccos(\cos(v)) & =\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \\ v & = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) \\ v & = 120^\circ \end{align}$$

Men detta ger bara en av lösningarna till ekvationen i intevallet \(0^\circ \leq v \leq 360^\circ\). Den andra fås genom:

$$v_2=360^\circ-v_1$$

Varför detta samband gäller kan du läsa om i lösning av trigonometriska funktioner.

Eftersom \(\cos(v)\) har perioden \(360^\circ\) får vi ut alla lösningar på ekvationen genom:

$$\begin{align}\cos (v) & = 120^\circ +n\cdot 360^\circ\\ \cos (v) & = 240^\circ +n\cdot 360^\circ \end{align}$$

där \(n\geq0\) och är ett positivt heltal.

Lösning för \(v\) som visas i figuren är alltså antingen \(120^\circ\) eller \(240^\circ\). Vi vet att vinkeln \(120^\circ\) ligger i andra kvadranten och att vinkeln \(240^\circ\) ligger i tredje kvadranten. Vi ser på bilden att punkten \(P\) ligger i tredje kvadranten. Det betyder att lösning för \(v\) som visas i figuren är \(240^\circ\).