Sinuskurvor

1. Figuren visar en sinuskurva av typen \(y=A\sin(k\cdot x)+d\). Bestäm perioden och konstanterna \(A\), \(k\) och \(d\).

2.Figuren visar en sinuskurva av typen \(y=A\sin(k\cdot x)+d\). Bestäm perioden och konstanterna \(A\), \(k\) och \(d\).

Lösningsförslag:

Vi börjar med att ta fram \(A\), som motsvarar kurvans amplitud. Denna får vi fram genom att ta avståndet mellan kurvans största och minsta värde dividerat med två:

$$A=\frac{4}{2}=2$$

Perioden får vi enklast fram genom att ta differensen av \(x\)-värdena mellan två toppar eller två dalar. Om vi tittar på de två topparna på den positiva \(x\)-axeln, ser vi att värdena för dem är \(x=250^\circ\) och \(x=50^\circ\). Perioden fås således fram genom:

$$\text{perioden}=250^\circ - 50^\circ=200^\circ$$

\(k\)-värdet får vi fram genom följande formel:

$$\text{perioden}=\frac{360^{\circ}}{k}$$

Om vi sätter in den tidigare funna perioden (\(200^\circ\)) i formeln och bryter ut \(k\) finner vi att:

$$k=\frac{360^{\circ}}{200^{\circ}}=\frac{9}{5}$$

Med de värden vi har hittat hittils, ser vår funktion ut på följande sätt:

$$y=2\sin \frac{9x}{5}+d$$

Värdet på \(d\) får vi ut genom att sätta in en känd punkt \((x,y)\) i funktionen ovan. Vi kan till exempel ta punkten då \(x=0\) och \(y=-1\). Vi får då:

$$-1=2\sin \left(\frac{9\cdot 0}{5}\right)+d$$

Sinus för \(0^\circ\) är 0, alltså får vi:

$$d=-1$$

Funktionen är således:

$$y=2\sin \left(\frac{9x}{5}\right)-1$$

2.

På uppgift 2 gör vi på samma sätt som i 1, uträkningen ser ut som följande:

$$A=\frac{6}{2}=3$$

$$\text{perioden}=250^{\circ}-50^{\circ}=200^{\circ}$$

$$k=\frac{360^{\circ}}{200^{\circ}}=\frac{9}{5}$$

$$y=3\sin \left(\frac{9x}{5}\right)+b$$

Vi tar punkten då \(x=0\) och \(y=2\) och sätter in i funktionen:

$$2=3\sin \left(\frac{9\cdot 0}{5}\right)+b$$

$$b=2$$

Vi får alltså följande funktion:

$$y=3\sin \frac{9x}{5}+2$$