Polynom

1. Utveckla och förenkla följande:

a)  \(4(3a+2)-6(2a+1)\)

b)  \(4(x+1)^2-(2x-1)^2\)

2. Faktorisera följande:

a)  \(x^3(x+1)^2+2x^4(x+1)\)

b)  \(10a^3b+25a^2b^2\)

3. Lös följande ekvationer:

a)  \((x-3)(2x-5)=0\)

b)  \(x^2-10x+16=0\)

c)  \(\sqrt{2x+5}=x+1\)

Lösningsförslag:

1. Det viktigaste när vi utvecklar och förenklar är att alltid vara noga med minustecken framför parenteser. Skriv ut alla steg och behåll parenteserna så långt som möjligt.

1 a)

$$\begin{align}4(3a+2)-6(2a+1) & = \\ (12a+8)-(12a+6) & = \\ 12a+8-12a-6 & =2\end{align}$$

1 b)

$$\begin{align}4(x+1)^{2}-(2x-1)^{2} & = \\ 4(x^{2}+2x+1)-(4x^{2}-4x+1) & = \\ 4x^{2}+8x+4-4x^{2}+4x-1 & = \\ 12x+3\end{align}$$

2. Regeln säger att ab + ac = a(b + c)

2 a)

$$\begin{align}x^{3}(x+1)^{2}+2x^{4}(x+1) & = \\ (x+1)(x^{3}(x+1)+2x^{4}) & = \\ (x+1)(x^{4}+x^{3}+2x^{4}) & = \\ (x+1)(3x^{4}+x^{3}) & = \\ (x+1)(x^{3}(3x+1)) & = \\ x^{3}(x+1)(3x+1)\end{align}$$

2 b)

$$\\10a^{3}b+25a^{2}b^{2}=5a^{2}b(2a+5b)\\$$

3.

3 a)

I den här uppgiften behöver vi inte beräkna parentesuttrycken i vänsterledet. Genom att inspektera ekvationen kan vi se att de två faktorerna \( (x-3) \) och \( (2x-5)\), som multipliceras med varandra kommer ge en produkt som är 0. Det betyder att antingen är \((x-3)=0\) eller \((2x-5)=0\). Vi kan således beräkna dessa ekvationer var för sig för att få fram ekvationens lösning.

$$(x-3)=0 \implies x=3$$

$$(2x-5)=0 \implies x=\frac{5}{2}$$

Ekvationen har alltså två lösningar, \(x_1=3\) och \(x_2=\frac{5}{2}\)

3 b)

I den här uppgiften börjar vi med att kvadratkomplettera. Det första steget är att flytta över 16 till högerledet:

$$x^2-10x+16\color{red}{-16}=\color{red}{-16}$$

En andragradsekvation har formen: \(x^2+px+q=0\), när vi ska kvadratkomplettera ekvationen lägger vi till termen \(\left(\frac{p}{2}\right)^2\) på båda sidorna. I vårt fall är denna term \(\left(\frac{10}{2}\right)^2=25\)

$$\begin{align} & x^2-10x\color{red}{+25}=-16\color{red}{+25} \implies \\ & x^2-10x+25=9\end{align}$$

Efter det faktoriserar vi vänsterledet med hjälp av kvadreringsregeln \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\):

$$\begin{align} & x^2-10x+25=9 \implies \\ & (x-5)^2=9\end{align}$$

Nu tar vi roten ut på båda sidorna och får:

$$\begin{align} & \sqrt{(x-5)^2}=\sqrt{9}\implies \\ & x-5=\pm 3 \implies x=5\pm3\end{align}$$

Vi har alltså hittat de två lösningarna \(x_1=2\) och \(x_2=8\).

3 c)

Vi börjar med att kvaderar båda sidorna och löser ekvationen på följande vis:

$$\begin{align} (\sqrt{2x+5})^2 & =(x+1)^2  \\ 2x+5 & = x^2+2x+1 \\ 2x \color{blue}{-2x}+5 \color{blue}{-1} & =x^2+2x\color{blue}{-2x}+1 \color{blue}{-1}\\ 4 & = x^2 \\ x & =\pm 2 \end{align}$$

Vi har alltså hittat två kandidater till lösningen: \(x_1=-2\) och \(x_2=2\). Nu testar vi dem för att se om båda är lösningar:

Test med \(x_1=-2\):

$$\begin{align}\sqrt{2(-2)+5} & =(-2)+1 \\ \sqrt{1} & =-1 \\ 1&\neq -1 \end{align}$$

Test med \(x_2=2\)

$$\begin{align}\sqrt{2(2)+5} & =(2)+1 \\ \sqrt{9} & =3 \\ 3&=3 \end{align}$$

Alltså är \(x=-2\) en falsk rot och lösningen till ekvationen är \(x=2\).