Uppgift 25

Funktionen \(f\) ges av \(f (x) = 2^x\). Figuren visar grafen till funktionen \(f\) samt en sekant mellan två punkter på grafen.

Lösningsförslag

 Eftersom tangenten ska vara parallell med sekanten behöver de ha samma lutning, vi börjar med att hitta lutningen på sekanten.

\[k=\frac{4-0,5}{2-(-1)}=\frac{3,5}{3}= \frac{7}{6}\]

Nu vill vi alltså hitta \(x\)-koordinaten för tangeringspunkten, som kommer motsvara när derivatan till \(f(x)\) är lika med \(\frac{7}{6}\). Vi börjar med att beräkna derivatan

\[f'(x)=2^x \cdot \ln(2)\]

Nu sätter vi \(f'(x)\) lika med \(\frac{7}{6}\) och löser ut \(x\)

\[2^x \cdot \ln(2)=\frac{7}{6} \]

\[2^x = \frac{7}{6\cdot \ln(2)}\]

\[\ln2^x = \ln\left(\frac{7}{6\cdot \ln(2)}\right)\]

\[x = \frac{\ln\left(\frac{7}{6\cdot \ln(2)}\right)}{\ln(2)}\]

Vi slår in det på räknare eller liknade digitalt verktyg

\[x=0,75116\approx 0,75\]

Svar: \(x=0,75\)