Kontinuerliga funktioner

Kontinuerlig funktion är en funktion som är definierad för alla x-värden, det vill säga att inga x-värden är uteslutna ur definitionsmängden. De flesta funktioner och dess grafer som vi stött på hittills är kontinuerliga så som exempelvis polynomfunktioner. Något som är ett kännetecken för grafer till sådana funktioner är att de är sammanhängande överallt och en vanlig beskrivning brukar vara att graferna ”kan ritas utan att lyfta pennan”.  Det finns också funktioner som är kontinuerliga där du måste “lyfta pennan”, men de är ändå kontinuerliga, vi återkommer till den sortens funktioner senare i detta avsnitt. Vi kommer titta på fler typer av funktioner som är kontinuerliga och de som inte är det, de kallas diskontinuerliga funktioner.

Exempel 1

Vi kan t.ex. skapa en funktion genom att "klistra ihop" olika funktioner i olika intervall. Det kan se ut så här
$$f(x) = \begin{cases}x^2 \text{ när } x \geq 2 \\ 2x+4 \text{ när }x<2 \end{cases}$$

funktionen är alltså för alla x-värden mindre än 2 den räta linjen \(2x+4\) och är för x-värden större eller lika med 2, parabeln \(x^2\). Grafen för \(f(x)\) ser ut så här. 

Detta är alltså en styckvis definierad funktion. Funktionen är inte kontinuerlig när \(x=2\). Detta går att undersöka på flera sätt, både med hjälp av digitala verktyg och rita upp grafen och se ”hoppet” som uppstår i grafen men också genom att undersöka om gränsvärdet (\(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)) får samma värde från både höger och vänster.

Exempel 2

En hopklistrad funktion kan också se ut så här $$g(x) = \begin{cases} x+6 \text{ när } x \geq 2 \\ x^3 \text{ när } x<2 \end{cases}$$

då ser grafen ser ut så här

och nu är denna funktion sammanhängande, det vill säga kontinuerlig. Detta hade vi också kunnat komma fram till genom att undersöka gränsvärdet \( \lim_{x \to 2} g(x) \).

Gränsvärdesundersökning

Generellt kan vi alltså undersöka om en funktion är kontinuerlig i en punkt \(x = a\) med hjälp av gränsvärdet  

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Kom ihåg att gränsvärdet ska bli detsamma från både höger och vänster för att existera!

Vi undersöker gränsvärdet för både funktionerna \(f(x)\) (exempel 1) och \(g(x)\) (exempel 2) som vi hade ovan.

Exempel 1

I grafen för f(x) ser vi tydligt att parabeldelen \(x^2\) börjar från punkten B(2, 4), alltså är värdet av parabeldelen 4 för \(x \geq 2\) (där \(f(2)=4\)). Det betyder att funktionsvärdet f(2) för den räta delen måste vara 4 för att f(x) ska vara kontinuerlig. Låt oss undersöka det här nedan.

$$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$$

Om vi kommer från vänster längs den räta linjedelen av funktionen, närmar sig funktionen \(f(2) = 2 \cdot 2+4 = 8\). Alltså är funktionen \(f(x)\) inte kontinuerlig.

Exempel 2

$$\lim_{x \to 2} g(x) = g(2)$$

För \(g(x)\), när \(x=2\) är funktionsvärdet \(g(2) = 8\) och därför ska gränsvärdet också vara det. Från vänster får vi \(2^3 = 8\) och från höger får vi \(2+6 = 8\).

$$\lim_{ x \to 2} g(x) = \begin{cases} 2+6 =8 \\ 2^3 = 8 \end{cases}$$

Eftersom de överensstämmer är \(g(x) \) kontinuerlig. 

Rationella funktioner

Som vi sett i tidigare avsnitt är kanske inte lika självklara om de är kontinuerliga eller inte. Om vi tittar på den klassiska funktionen \( f(x) = \frac{1}{x} \) 

Vi ser att det inte går att rita upp grafen ”utan att lyfta pennan” och den är inte helt sammanhängande runt \(x = 0\), men ändå är rationella funktioner kontinuerliga! Detta eftersom x-värden, som funktionen inte är definierad för, inte finns med i definitionsmängden. Om vi fortsätter att titta på \( f(x) = \frac{1}{x} \)  så är \(x=0\) inte med i definitionsmängden och då är \(f(x)\) definierad och sammanhängande för sin definitionsmängd, därför är den kontinuerlig. Detta gäller för alla rationella funktioner att de är kontinuerliga. Vi kommer även att bekanta oss med diskreta funktioner.

Diskreta funktioner

En annan typ av funktioner kallas för diskreta funktioner. En diskret funktion är en funktion som endast är definierad för vissa enskilda, separata x-värden eller punkter – ofta heltal eller en ändlig mängd värden.

För diskreta funktioner så är definitionsmängden diskret. Diskret betyder ”separat” och ett vanligt exempel skulle vara de naturliga talen \(\mathbb{N} = 0, 1, 2, 3,\dots \) Därför består funktionen av separata punkter. Så vad skulle vi kunna beskriva med en diskret funktion? Jo, det finns många saker som är lämpliga att beskriva med en diskret funktion, så som antal personer i en klass, sittplatser på en konsert eller tillverkade soffor. Vi tittar på ett exempel,  

Funktionen \(h(x) = 12x\), där \(x ∈ \mathbb{N}\) (de naturliga talen), beskriver styckpriset för avokado, där \(x \geq 0\) är antalet avokador. Eftersom vi enbart kan köpa hela avokados när det är styckpris så kommer definitionsmängden vara diskret, dvs antal avokado. (Notera att \(x\) inte får vara negativt då det skulle innebära att vi säljer avokado till affären i stället. Det är också tillåtet att inte köpa avokado, dvs \(x=0\) ) Grafen kommer se ut som nedan, där y-axeln beskriver priset och x-axeln antal avokado. 

Om avokado säljs per kilo, eller om vi i stället skulle köpa tomater som oftast säljs per kilo, får vi en kontinuerlig funktion. Vi är då inte begränsade till att köpa tomater i hela kilo, utan kan köpa vilken vikt som helst – t.ex. 0,34 kg, 0,5 kg eller 1,029 kg.

Sammanfattning

• Kontinuerlig funktion är definierad och sammanhängande för alla x-värden i definitionsmängden
• En funktion är kontinuerlig i en punkt \(x = a\) om $$\lim _{x \to a} f(x) = f(a) $$
• För att gränsvärdet ska finnas, måste funktionen närma sig samma värde både från vänster och från höger om \(a\).
• Diskontinuerlig funktion är inte kontinuerlig
• Rationella funktioner är kontinuerliga
• En diskret funktion har separata värden i sin definitionsmängd, och dess graf består av åtskilda punkter.