Räta linjens ekvation

I kurserna Matte 1 och Matte 2 har vi gått igenom hur man kan använda linjära funktioner och räta linjens ekvation. Låt oss repetera hur man kan beskriva linjära samband med hjälp av räta linjens ekvation.


Vi börjar med ett exempel

När man tar in på ett hotell kostar varje natt man tillbringar där en viss summa pengar, låt oss säga 500 kr. Hur mycket hela hotellvistelsen kostar kan då anses bero på dels hur mycket en natt kostar, och dels hur många nätter man stannar på hotellet. Detta samband kan vi beskriva så här:

$$Total\, kostnad=500\, kr\cdot \, antal\, nätter$$

Om vi betecknar antal nätter med x och den totala kostnaden med y, kan vi skriva om detta samband som

$$y=500x$$

Om vi utöver kostnaden för varje natt man tillbringar på hotellet, även vill använda hotellets spaavdelning vid ett tillfälle, så kan vi anta att en extra avgift på 250 kr tillkommer. Då kan vi skriva om sambandet så här:

$$Total \, kostnad=500\, kr\cdot antal\, nätter+250\, kr$$

$$y=500x+250$$


Denna ekvation följer en mall som kallas för räta linjens ekvation. Det är en klassisk ekvation, där man beskriver förhållandet mellan två variabler x och y. Ekvationen kallas för räta linjens ekvation, därför att om man ritar in motsvarande funktion (y(x)=500x+250 i vårt exempel) i ett koordinatsystem så kommer det att bli en rät linje.

Vi ska visa detta genom att beräkna värdet på y utifrån några olika värden på x. Sedan ska vi sätta in de punkter (x, y) som dessa par av värden motsvarar i ett koordinatsystem och sammanbinda punkterna.


Följande tabell visar vad den totala kostnaden blir i tre olika fall (2 nätter, 3 nätter och 5 nätter)

$$y(2)=500\cdot 2+250=1250$$

$$y(3)=500\cdot 3+250=1750$$

$$y(5)=500\cdot 5+250=2750$$

När vi skriver y(2) så menar vi att vi har en funktion y(x) där vi undersöker vad y får för värde om x=2. Allmänt brukar man skriva:

$$y(x)=500x+250$$

$$eller$$

$$f(x)=500x+250$$

Om vi sedan vill sätta in olika värden på variabeln x, så beräknar man funktionsvärdet genom att sätta in det valda värdet på samtliga platser där vi har x i funktionsuttrycket.

Om man vill vara extra tydlig kan man även skriva:

$$y(x=2)=500\cdot 2+250$$

Antal nätter (x) Total kostnad (y) Koordinater (x,y)
2 1250 (2, 1250)
3 1750 (3, 1750)
5 2750 (5, 2750)

De koordinater vi har tagit fram sätts nu in som punkter i ett koordinatsystem och vi ser att om de sammanbinds så får vi en rät linje.
1093
Utifrån vår funktion kan vi välja oändligt många olika positiva heltalsvärden på variabeln x (i det här fallet antal nätter) och få ut ett unikt y-värde (total kostnad för hotellvistelsen) för varje val av värde på variabeln x. Varje punkt som dessa par av x- och y-värden bildar kommer alla att ligga längs samma linje i koordinatsystemet. Denna linje motsvaras av just funktionen

$$y(x)=500x+250$$

1095


Formeln för räta linjens ekvation lyder:

$$y=kx+m$$

Alla ekvationer som följer detta mönster bildar en rät linje om man väljer att avbilda sambandet i ett koordinatsystem. Det som kommer att skilja linjerna åt är lutningen och skärningspunkten. Lutningen betecknas med ett k, som står för riktningskoefficient. I vår exempelekvation är k-värdet 500 - det innebär att för varje ökning av x med 1 så ökar y med 500 (varje extra natt innebär en ökad kostnad med 500 kr). Skärningspunkten betecknas med ett m, som står för konstantterm. m är det värde på y-axeln där vår linje skär denna axel. m-värdet i vår exempelekvation är 250.

I koordinatsystemet nedan har ett nytt linjärt samband ritats in. Genom att studera linjen kan vi räkna ut linjens ekvation. Eftersom linjen är rak, så vet vi att ekvationen följer formeln för räta linjens ekvation. Vad vi inte vet än är vilket k-värde och vilket m-värde som ekvationen ska ha. När vi har bestämt k-värdet (riktningskoefficienten) och m-värdet (konstanttermen) för ett linjärt samband, då har vi en fullständig beskrivning av linjens ekvation.

$$y=?x+?$$

Vi ska börja med att räkna ut linjens lutning, det vill säga k-värdet.

1098

K-värdet beräknas med hjälp av följande formel:

$$k=\frac{\bigtriangleup y}{\bigtriangleup x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

Genom att ta två punkter och beräkna skillnaden i y-led mellan dessa och dividera med skillnaden i x-led mellan punkterna, så får vi k-värdet - hur mycket linjen lutar. Vi väljer punkterna (2, 5) och (1, 3).

Dessa punkter visar vi i koordinatsystemet nedan:

1100

Skillnaden i y-led:

$$\\y_{2}-y_{1}=5-3=2\\$$

Skillnaden i x-led:

$$x_{2}-x_{1}=2-1=1$$

K-värdet blir därför:

$$k=\frac{2}{1}=2$$

Slutligen ska vi ta reda på m-värdet. Vi ska alltså bara läsa av var linjen skär y-axeln, vilket vi ser är där y=1.

$$m=1$$

Nu har vi tagit reda på de okända konstanterna i ekvationen. Linjen i koordinatsystemet kan alltså beskrivas med ekvationen

$$y(x)=2x+1$$

Nu ska vi rita in ytterligare en funktion i koordinatsystemet:

$$y(x)=2x$$

Räta Linjens ekvation

Den nya funktionen har inget m-värde utskrivet, eftersom det är noll. Precis som förväntat skär linjen till ekvationen genom origo, där y=0. Lägg märke till att de båda funktionerna är parallella. Eftersom båda funktionerna har samma k-värde (k=2), har de också samma lutning, vilket just medför parallellitet.

2 linjer med samma k-värde är parallella

I följande koordinatsystem har ytterligare en funktion ritats in, utöver de två tidigare

$$y(x)=x$$

Denna enkla funktion har vare sig k-värdet eller m-värdet utskrivet, men de finns dolda. Riktningskoefficienten framför x är 1 och konstanttermen m är 0.

y=x
I nästa exempel har en fjärde funktion ritats in i koordinatsystemet:

$$y(x)=2$$

y=2

I detta funktionsuttryck är inget k-värde utskrivet eftersom det är lika med 0; endast m-värdet (m=2) är utskrivet.

Som vi ser skär linjen y-axeln i just y=2. Om k-värdet är 0, så betyder det att funktionsvärdet är detsamma oavsett vilket x-värdet är, och linjen är därför horisontell - parallell med x-axeln.

Slutligen har en femte funktion (denna gång markerat i grönt) ritats in i koordinatsystemet:

$$y(x)=-2x-3$$

Grafratalinjen

Lägg märke till att såväl denna funktions k-värde och dess m-värde är negativt. Då k-värdet är negativt är lutningen negativ och därför är linjen fallande (för varje ökning av x så minskar y, i detta fall minskar y med 2 för varje ökning av x med 1). m-värdet -3 innebär att linjen skär y-axeln i y=-3, vilket vi kan se i koordinatsystemet ovan.

En linje med k>0 är stigande En linje med k=0 är parallell med x-axeln En linje med k<0 är fallande

En linje med ekvationen x=2 kan inte skrivas enligt formeln för linjens ekvation. I ett koordinatsystem är linjen visserligen rät, men den saknar både lutning (k-värde) och skärning med y-axeln (m-värde):

$$x=2$$

räta linjen x=2

Eftersom x endast har ett värde så kan något y-värde inte definieras. Linjen blir parallell med y-axeln.

En linje som till exempel x=2 kan inte skrivas på formeln y=kx+m utan är parallell med y-axeln.

Videolektion

Förklaring av koordinater och den räta linjens ekvation.


Har du en fråga du vill ställa om Räta linjens ekvation? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se