Parallella och vinkelräta linjer
Ibland kan man misstänka att två räta linjer är parallella eller vinkelräta från när man tittar på dem i en graf. I detta avsnitt lär vi oss hur vi kan säkerställa om två linjer är parallella eller vinkelräta genom algebraiska beräkningar.
Om vi har två linjära funktioner som vi kallar \(y_1\) och \(y_2\):
\begin{align}
y_1 (x) &= k_1 x + m_1\\
y_2 (x) &= k_2 x + m_2
\end{align}
Så kommer de räta linjerna som funktionerna beskriver vara parallella endast om de har samma \(k\)-värde, \(k_1=k_2\). \(k\) anger linjens lutning och är lutningen densamma så är de parallella. Två linjer som är parallella kommer aldrig skära varandra.
Linjerna är vinkelräta endast om \(k_1\cdot k_2=-1\), eller med andra ord, om \(k_1=\normalsize{-\frac{1}{k_2}}\). Bevisen för dessa två kriterier kommer att ges i en senare kurs.
Exempel
Vi har följande tre linjer som vi vill jämföra för att se om de är parallella eller vinkelräta mot varandra.
\begin{align}
y_1&= 3x-5\\
y_2&= 3x -2\\
y_3&=-\frac{x}{3}+10
\end{align}
Linjerna \(y_1\) och \(y_2\) har samma \(k\)-värde som är lika med \(3\). Det betyder att linjerna kommer vara parallella.
\(y_3\) har \(k\)-värdet \(\normalsize{-\frac{1}{3}}\), och om vi multiplicerar \(k\)-värdena för \(y_1\) och \(y_3\) får vi:
$$3\cdot(-\frac{1}{3})=-1$$
Det betyder att \(y_3\) kommer vara vinkelrät mot \(y_1\). Eftersom \(y_1\) och \(y_2\) är parallella, betyder det även att \(y_3\) och \(y_2\) kommer vara vinkelräta mot varandra.
Om vi ritar dessa linjer i ett koordinatsystem får vi följande figur:
Ibland kan man misstänka att två räta linjer är parallella eller vinkelräta från när man tittar på dem i en graf. I detta avsnitt lär vi oss hur vi kan säkerställa om två linjer är parallella eller vinkelräta genom algebraiska beräkningar.
Om vi har två linjära funktioner som vi kallar \(y_1\) och \(y_2\):
\begin{align}
y_1 (x) &= k_1 x + m_1\\
y_2 (x) &= k_2 x + m_2
\end{align}
Så kommer de räta linjerna som funktionerna beskriver vara parallella endast om de har samma \(k\)-värde, \(k_1=k_2\). \(k\) anger linjens lutning och är lutningen densamma så är de parallella. Två linjer som är parallella kommer aldrig skära varandra.
Linjerna är vinkelräta endast om \(k_1\cdot k_2=-1\), eller med andra ord, om \(k_1=\normalsize{-\frac{1}{k_2}}\). Bevisen för dessa två kriterier kommer att ges i en senare kurs.
Exempel
Vi har följande tre linjer som vi vill jämföra för att se om de är parallella eller vinkelräta mot varandra.
\begin{align}
y_1&= 3x-5\\
y_2&= 3x -2\\
y_3&=-\frac{x}{3}+10
\end{align}
Linjerna \(y_1\) och \(y_2\) har samma \(k\)-värde som är lika med \(3\). Det betyder att linjerna kommer vara parallella.
\(y_3\) har \(k\)-värdet \(\normalsize{-\frac{1}{3}}\), och om vi multiplicerar \(k\)-värdena för \(y_1\) och \(y_3\) får vi:
$$3\cdot(-\frac{1}{3})=-1$$
Det betyder att \(y_3\) kommer vara vinkelrät mot \(y_1\). Eftersom \(y_1\) och \(y_2\) är parallella, betyder det även att \(y_3\) och \(y_2\) kommer vara vinkelräta mot varandra.
Om vi ritar dessa linjer i ett koordinatsystem får vi följande figur:
- Parallell – Två parallella linjer skär aldrig varandra. Två räta linjer är parallella endast om de har samma \(k\)-värde.
- Vinkelrät – Två linjer som skär sig med en vinkel på \(90\) grader är vinkelräta. Om \(k\)-värdena:
$$k_1\; \text{och}\;k_2\;\text{för de två linjerna uppfyller}\;k_1=-\frac{1}{k_2}\; \text{är de vinkelräta.}$$ - Linjär funktion: Är en funktion som har formen \(f(x)=kx+m\), där \(y=f(x)\).