Parallella och vinkelräta linjer
Ibland kan man misstänka att två räta linjer är parallella eller vinkelräta från när man tittar på dem i en graf. I detta avsnitt lär vi oss hur vi kan säkerställa om två linjer är parallella eller vinkelräta genom algebraiska beräkningar.
Om vi har två linjära funktioner som vi kallar y1 och y2:
y1(x)=k1x+m1y2(x)=k2x+m2
Så kommer de räta linjerna som funktionerna beskriver vara parallella endast om de har samma k-värde, k1=k2. k anger linjens lutning och är lutningen densamma så är de parallella. Två linjer som är parallella kommer aldrig skära varandra.
Linjerna är vinkelräta endast om k1⋅k2=−1, eller med andra ord, om k1=−1k2. Bevisen för dessa två kriterier kommer att ges i en senare kurs.
Exempel
Vi har följande tre linjer som vi vill jämföra för att se om de är parallella eller vinkelräta mot varandra.
y1=3x−5y2=3x−2y3=−x3+10
Linjerna y1 och y2 har samma k-värde som är lika med 3. Det betyder att linjerna kommer vara parallella.
y3 har k-värdet −13, och om vi multiplicerar k-värdena för y1 och y3 får vi:
3⋅(−13)=−1
Det betyder att y3 kommer vara vinkelrät mot y1. Eftersom y1 och y2 är parallella, betyder det även att y3 och y2 kommer vara vinkelräta mot varandra.
Om vi ritar dessa linjer i ett koordinatsystem får vi följande figur:
Ibland kan man misstänka att två räta linjer är parallella eller vinkelräta från när man tittar på dem i en graf. I detta avsnitt lär vi oss hur vi kan säkerställa om två linjer är parallella eller vinkelräta genom algebraiska beräkningar.
Om vi har två linjära funktioner som vi kallar \(y_1\) och \(y_2\):
\begin{align}
y_1 (x) &= k_1 x + m_1\\
y_2 (x) &= k_2 x + m_2
\end{align}
Så kommer de räta linjerna som funktionerna beskriver vara parallella endast om de har samma \(k\)-värde, \(k_1=k_2\). \(k\) anger linjens lutning och är lutningen densamma så är de parallella. Två linjer som är parallella kommer aldrig skära varandra.
Linjerna är vinkelräta endast om \(k_1\cdot k_2=-1\), eller med andra ord, om \(k_1=\normalsize{-\frac{1}{k_2}}\). Bevisen för dessa två kriterier kommer att ges i en senare kurs.
Exempel
Vi har följande tre linjer som vi vill jämföra för att se om de är parallella eller vinkelräta mot varandra.
\begin{align}
y_1&= 3x-5\\
y_2&= 3x -2\\
y_3&=-\frac{x}{3}+10
\end{align}
Linjerna \(y_1\) och \(y_2\) har samma \(k\)-värde som är lika med \(3\). Det betyder att linjerna kommer vara parallella.
\(y_3\) har \(k\)-värdet \(\normalsize{-\frac{1}{3}}\), och om vi multiplicerar \(k\)-värdena för \(y_1\) och \(y_3\) får vi:
$$3\cdot(-\frac{1}{3})=-1$$
Det betyder att \(y_3\) kommer vara vinkelrät mot \(y_1\). Eftersom \(y_1\) och \(y_2\) är parallella, betyder det även att \(y_3\) och \(y_2\) kommer vara vinkelräta mot varandra.
Om vi ritar dessa linjer i ett koordinatsystem får vi följande figur:
- Parallell – Två parallella linjer skär aldrig varandra. Två räta linjer är parallella endast om de har samma \(k\)-värde.
- Vinkelrät – Två linjer som skär sig med en vinkel på \(90\) grader är vinkelräta. Om \(k\)-värdena:
$$k_1\; \text{och}\;k_2\;\text{för de två linjerna uppfyller}\;k_1=-\frac{1}{k_2}\; \text{är de vinkelräta.}$$ - Linjär funktion: Är en funktion som har formen \(f(x)=kx+m\), där \(y=f(x)\).