En kvadrat i en kvadrat
I en kvadrat \(K_1\) ritas en mindre kvadrat \(K_2\) in, där \(K_1\) har sidan A och \(K_2\) har sidan B. Hur stor area har \(K_1\), om vi vet att den area av \(K_1\) som inte täcks av \(K_2\) är 2, och att summan av sidorna A och B är 4?
\(K_1 = \dfrac{81}{16} = 5{,}0625\) a.e.
Sidan i den stora kvadraten \(K_1\) = A
Sidan i den stora kvadraten \(K_2\) = B
Summan av sidorna är 4: \[A + B = 4\,\,\,\,\, \,\,\,\,\text{(1)}\]
Arean av \(K_1\) som inte täcks av \(K_2\) är 2 areaenhter \[A^2 - B^2 = 2 \,\,\,\,\, \text{(2)}\]
Nu använder vi konjugatregeln: \[A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\] Alltså \((A-B)\cdot 4 = 2\)
\[⇒ (A-B) = \frac{1}{2}\,\,\,\, \text{(3)}\]
Vi har då ekvationssystemet (ek. 1 och 3)
\[
\begin{cases}
A+B=4\\
A-B=\dfrac{1}{2}
\end{cases}
\]
Adderar vi ekvationerna: \[2A = 4 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2} ⇒ A = \dfrac{9}{4}\]
Den stora kvadratens area blir därför \[A^2 = \left(\dfrac{9}{4}\right)^2 = \dfrac{81}{16}\]
Alltså är arean \(K_1 = \dfrac{81}{16} = 5{,}0625\) areaenheter.
Kan du beräkna \(K_2\)?
Svar: \(K_1 = \dfrac{81}{16} = 5{,}0625\) a.e.