Olikheter

I en ekvation så är just uttrycken som står på vardera sidan om likhetstecknet lika stora. Men det är inte alltid så att det vi vill beskriva kan skrivas på det sättet. Till exempel är som bekant fem myror fler än fyra elefanter, vilket vi vill kunna beskriva matematiskt. Vi kallar uttryck där båda leden inte är lika stora för olikheter och istället för likhetstecknet \(=\) används då tecknen mindre än \(<\) och större än \(>\).

Att 4 är mindre än 5 kan skrivas som

$$4<5$$

På motsvarande sätt kan att 5 är större än 4 skrivas som

$$5>4$$

En minnesregel i detta sammanhang är att olikhetstecknet skall "gapa" åt det värde, det led, som är störst. Ett annat sätt att minnas detta är att se olikhetstecknet är som en tratt, där du har det större värdet vid trattens större öppning och det mindre värdet vid trattens mindre öppning.

$$st\ddot{o}rst>minst$$

$$minst<st\ddot{o}rst$$

Det finns också två tecken som betyder "större än eller lika med" och "mindre än eller lika med":

$$x\leq 4$$

Detta utläser vi som att "x är mindre än eller lika med 4".

$$x\geq 2$$

Detta utläser vi som att "x är större än eller lika med 2".

Det finns även ett tecken som betyder "inte lika med", eller är "skilt från":

$$x\neq 3$$

Detta utläser vi som "x är inte lika med 3" eller "x är skilt från 3".

Algebraisk lösning

Olikheter kan användas på ungefär samma sätt som ekvationer och vi kan hitta lösningar på olikheter genom att använda räkneoperationer på våra algebraiska uttryck. Om du vill så kan du repetera avsnittet om ekvationslösning för att fräscha upp kunskaperna.


Låt oss titta på ett exempel på lösning av en olikhet

Säg att du äger en mobiltelefon och har ett abonnemang hos en mobiltelefonioperatör som kostar 199 kronor i månaden och där abonnemanget har en minutkostnad på 99 öre. Du har inte råd att betala mer än 400 kronor i månaden för dina telefonsamtal, och du undrar därför hur många minuter du kan ringa för varje månad.

Om vi kallar antalet minuter som du kan ringa för varje månad för x, så kan vi ställa upp ett uttryck för månadskostnaden.

Uttrycket som bestämmer månadskostnaden är

$$199+0,99x$$

Detta uttryck måste vara mindre än eller lika med 400, eftersom du inte hade råd att betala mer än 400 kronor varje månad. Vi får då olikheten

$$199+0,99x\leq 400$$

Olikheter kan vi lösa ungefär som om det vore en ekvation. Vi subtraherar först 199 från uttrycken på båda sidorna och får

$$199+0,99x-199\leq 400-199$$

$$0,99x\leq400-199 $$

$$0,99x\leq 201$$

Sedan dividerar vi uttrycken på båda sidorna med 0,99 för att få x att stå ensamt

$$x\leq \frac{201}{0,99}$$

$$x\leq 203,0303...$$

Med andra ord kan du med en budget på 400 kronor ringa upp till 203 minuter varje månad, vilket motsvarar 3 timmar och 23 minuter.

Den lösning vi har hittat är i själva verket ett intervall av värden, eftersom vi kan ringa för mindre än detta antal minuter och fortfarande uppfylla olikheten. Ringer vi för till exempel 100 minuter (x = 100), då får vi genom insättning olikheten

$$199+0,99\cdot 100\leq 400$$

$$199+99\leq 400$$

$$298\leq 400 $$

Olikheten ovan gäller för detta värde på x, eftersom 298 är mindre än 400.

Multiplicera och dividera olikheter med negativa tal

Det finns en väldigt viktig regel att hålla i minnet när vi räknar med olikheter: om båda leden i en olikhet multipliceras eller divideras med ett negativt tal, så måste olikhetstecknet vändas åt andra hållet. Detta beror på att multiplikation eller division med ett negativt tal alltid ändrar tecken på termerna i ett uttryck. Detta var inte något vi behövde tänka på vid ekvationslösningen, men vi får inte glömma det när vi försöker att lösa olikheter. För övrigt så ska de ingående uttrycken i en olikhet behandlas som när vi löser en ekvation.


Här kommer ett exempel där vi ser hur det här fungerar

Vi har olikheten

$$5>4$$

Om vi multiplicerar båda sidorna med -1 utan att göra någonting mer, så ser vi att vi får

$$5>4$$

$$5\cdot (-1)>4\cdot (-1)$$

$$-5>-4$$

$$stämmer \, ej$$

och vi vet ju att detta inte stämmer, eftersom -5 är mindre än -4. För att olikheten ska gälla även när man multiplicerar eller dividerar med negativa tal, så måste vi därför byta olikhetstecken i uttrycket:

$$5>4$$

$$5\cdot (-1)>4\cdot (-1)$$

$$-5 \; {\color{Blue} <}-4$$


Här nedan följer ett exempel med en annan olikhet

$$70-2x<10$$

$$70-2x-70<10-70$$

$$-2x<-60$$

$$\frac{-2x}{-2}<\frac{-60}{-2}$$

$$x \; {\color{Blue} >} \; 30$$

Observera att vi har vänt på olikhetstecknet.


Olikheter på tallinjen

Att representera ett reellt tal på tallinjen kan vi göra genom att markera just detta tal på rätt plats längs linjen.

Har vi däremot att göra med en olikhet som vi vill markera på tallinjen, så är det ett intervall av tillåtna värden längs tallinjen som vi vill markera, inte bara ett specifikt värde. Sådana intervall av tillåtna värden kan vi markera genom att vi använder oss av fyllda och ofyllda ringar. Om ringen är fylld så betyder det att värdet tillhör de värden som vi vill markera; om ringen är ofylld så tillhör värdet inte de värden som vi vill markera.


Här har vi exempel på hur fyra olikheter kan representeras

x ska ha ett värde som är större än -2:

$$x>-2 $$

Olikheter 01

x ska ha ett värde som är mindre än 1:

$$x<1$$

Olikheter 03

x ska ha ett värde som är större än eller lika med 0:

$$x\geq 0$$

Olikheter 02

x ska ha ett värde som är mindre än eller lika med 0:

$$x\leq 0$$

Olikheter 04


Videolektioner

Här introducerar vi begreppet olikheter och vad det kan användas till.

Här går vi igenom hur vi löser olikheter.

Har du en fråga du vill ställa om Olikheter? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!