Problemlösning och ekvation

I det förra avsnittet såg vi hur man kan lösa ekvationer med hjälp av olika räkneoperationer, i ett eller flera steg. I det här avsnittet ska vi titta närmare på hur man i praktiken kan översätta verkliga problem till matematiska ekvationsuttryck, som vi kan lösa, och sedan tolka lösningen utifrån det ursprungliga problemet.

Formulering av problem i matematiska termer

Ekvationer kan användas som verktyg för att strukturera och förenkla lösningen av många problem. Det gäller dock att kunna tolka problemen på rätt sätt, och översätta dem till matematiska symboler och uttryck.

Det första vi måste göra är att införa definitioner. Det vi undrar över eller söker, exempelvis kilopriset på bananer i en viss affär, kallar vi x, eller använder någon annan lämplig beteckning.

I nästa steg spaltar vi upp all information om problemet som vi känner till och som vi tror kan ha betydelse för problemets lösning, exempelvis hur många kilo bananer vi har köpt och vad de kostade totalt. Med hjälp av det vi vet kan vi sedan ställa upp ett eller flera matematiska uttryck som beskriver olika aspekter av problemet.

Om vi till exempel säger att vi har köpt 4 kg bananer och totalt har betalat 20 kr, och undrar vilket kilopriset för bananerna var, så kan vi skriva det som 4x = 20, där x är det okända kilopriset.

Lösning av en matematisk ekvation och tolkning av lösningen

Nu kan vi se att uttrycket vi har formulerat ovan i själva verket är en ekvation som vi kan lösa:

$$4x=20$$

$$\frac{4x}{4}=\frac{20}{4}$$

$$x=5$$

När vi nu har funnit en lösning på ekvationen tar vi ett steg tillbaka och funderar på vad det betyder att x = 5 är en lösning på ekvationen. Jo, eftersom x symboliserade kilopriset på bananer, har vi alltså kommit fram till att om vi köpt 4 kg bananer och totalt har betalat 20 kr för dem, så måste priset på bananerna ha varit 5 kr per kg.


Problemlösning med ekvation

Nu ska vi analysera ett problem med hjälp av matematisk formulering i form av ekvation och lösning av denna ekvation.

Problemet vi ska lösa lyder så här:

"Under en vecka arbetar Pelle extra tre kvällar i en kiosk och får lika mycket betalt varje kväll han arbetar. När han arbetat klart fick han lönen inbetald på sitt konto, som innan han började arbeta var helt tomt. Under helgen, efter att han har fått pengarna för veckans arbete, bestämmer han sig för att gå på bio med sina vänner. Biobiljetten han köper kostar 100 kronor, och sen köper han popcorn och läsk för ytterligare 100 kronor. Han betalar med pengar från sitt konto och dessa betalningar är de enda gånger han rört pengarna på kontot under veckan. Efter biobesöket har Pelle 1300 kronor kvar på kontot.

Hur mycket fick han betalt per kväll som han arbetade?"

Vi börjar med att anta att Pelle får ut x kr per kväll i lön. Pelle jobbade tre kvällar, vilket innebär att han sammanlagt borde ha tjänat 3x kronor. I början av veckan var kontot tomt, vilket vi tolkar som att det fanns noll kronor på kontot. Vi vet också att biobesöket kostade honom 200 kr (100 kr + 100 kr) och att när kvällen var slut hade han 1300 kr kvar på kontot.

Vi kan skriva det som ekvationen

Bikldf

Nu har vi alltså formulerat problemet som en ekvation, som vi kan lösa med avseende på variabeln x. Vi använder oss i steg för steg av de lösningsmetoder som vi gick igenom i det förra avsnittet:

$$3x-200=1300$$

$$3x-200+200=1300+200$$

$$3x=1500$$

$$\frac{3x}{3}=\frac{1500}{3}$$

$$x=500$$

I prövar den lösning vi har kommit fram till:

$$VL=3x-200=3\cdot 500-200=1500-200=1300$$

$$HL=1300$$

$$Vl=HL$$

Vår prövning visar att lösningen stämmer.

Vi tolkar ekvationens lösning som att Pelle fick 500 kronor per kväll som han arbetade.

Något man dock bör tänka på vid matematisk problemlösning är att även om en lösning stämmer utifrån den ekvation vi har formulerat, så ger det ingen garanti för att vi översatte det ursprungliga problemet till en ekvation på rätt sätt. Om man har formulerat ekvationen fel, då innebär en lösning av denna ekvation att man löser fel problem. Därför är det viktigt att vara noga med hur man formulerar ett problem matematiskt, så att man löser rätt problem.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Problemlösning och ekvation? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!