Negativa tal

I avsnittet om heltalen och de naturliga talen kom vi fram till att heltalen utgörs av de naturliga talen (0, 1, 2, …) och de negativa heltalen (-1, -2, -3, …). I det här avsnittet ska vi titta närmare på negativa tal och de egenskaper som dessa tal har.

Negativa tal är tal som är mindre än noll. Vi skriver ett negativt tal på samma sätt som ett positivt tal, men med ett minustecken ("-") framför.

I vardagen stöter vi på negativa tal i olika sammanhang, bland annat i form av temperatur under nollstrecket på en termometer. Man kan till exempel säga att temperaturen ute en kall dag är -10°C, alltså 10 grader under noll(mätt i grader Celsius).


Negativa tal på tallinjen

På en tallinje är de negativa talen placerade till vänster om talet noll:

Tallinje 04

Avståndet till noll är lika långt till exempel från +2 som från -2. På samma sätt är avståndet till noll lika långt för varje tal +a som för -a. Man kallar talen a och -a motsatta tal, eftersom de befinner sig på lika avstånd till noll, fast på motsatta sidor av noll (det ena på den positiva sidan, det andra på den negativa sidan).

När vi räknar med negativa tal, är det vissa saker vi måste hålla i minnet. När vi lägger till positiva tal (adderar), rör vi oss till höger på tallinjen och när vi drar ifrån positiva tal (subtraherar) rör vi oss istället till vänster på tallinjen.

Om det är svårt att komma ihåg, kan det hjälpa att tänka på detta som temperaturen på en termometer. Om det är minusgrader ute och temperaturen sjunker (det blir ännu kallare, alltså drar vi bort grader) så ökar antalet minusgrader eftersom vi kommer längre ner på skalan åt det negativa hållet. Om temperaturen stiger (det blir varmare, det läggs till grader) så ökar antalet grader och det blir mindre kallt och antalet minusgrader blir färre.

Låt oss titta på ett exempel:

$$-3+4=1$$

Utför vi denna beräkning, så börjar vi vid -3 och rör oss fyra steg (+4) till höger längs tallinjen och hamnar vid +1. Med vårt temperaturexempel är det samma sak som om temperaturen hade varit -3°C och sedan ökade med 4°C, vilket gav den nya temperaturen +1°C.

På tallinjen kan vi se det som att vi går från -3 till 1, så här:

Tal _och _rakning __negativa _tal _09

Vi tittar på ett ytterligare exempel:

$$-3-2=-5$$

I det här fallet börjar vi vid -3 och drar sedan bort 2. Alltså rör vi oss två steg åt vänster längs tallinjen från -3 och hamnar i -5. Är det temperatur vi mäter, så är det alltså samma sak som om temperaturen hade varit -3°C och sedan minskat med 2°C, vilket ger den nya temperaturen -5°C.

På tallinjen ser det ut så här:

Tallinje 05


Addition och subtraktion

Att addera två tal är detsamma som att se hur mycket talen är tillsammans.

Ett negativt tal är dock under noll, som en skuld. Om du har 100 kronor på banken och 50 kronor i skulder, så har du bara 50 kronor att spendera. På samma sätt fungerar det att addera negativa tal:

$$100+(-50)=100-50=50$$

Att addera -50 är alltså detsamma som att subtrahera 50.

Att subtrahera två tal är att se hur stor skillnaden, differensen, mellan talen är.

Om vi passerar noll kommer skillnaden att bli större. Avståndet mellan ett flygplan som flyger 100 meter över havet och havets botten på 50 meters djup, är ju 150 meter. Så när vi subtraherar negativa tal blir det så här:

$$100-(-50)=100+50=150$$

Att subtrahera -50 är detsamma som att addera 50.

När vi tar bort parenteser får vi vara noga med att byta tecken om det står minus framför parentesen och behålla tecknet ifall det står plus framför parentesen.

Ibland har vi situationer där vi ska subtrahera hela uttryck inom en parentes. Då får man komma ihåg att vara noga med eventuella teckenbyten för varje term som ingår i parentesuttrycket.

Här är ett exempel på hur det kan gå till:

$$100-(25+25)=100-25-25=50$$

I exemplet ovan har vi valt att inte beräkna uttrycket (25 + 25) först, innan parentesen togs bort, utan låtit uttrycket stå kvar. Gör man så får man dock se till att vara noga med att alla termer i parentesuttrycket byter tecken. Vi kan också se att vi får samma resultat av uträkningen som om vi direkt hade subtraherat 50 från 100, det vill säga räknat ut uttrycket inom parentesen först. För att undvika räknefel är det oftast en bra idé att räkna ut uttryck inom parenteser så långt det går, innan man går vidare med resten av uttrycket.

Allmänt kan vi sammanfatta dessa räkneregler som:

$$a+(-b)=a-b$$

$$a-(-b)=a+b$$

$$a-(b+c)=a-b-c$$


Multiplikation och division

Även när vi multiplicerar och dividerar med negativa tal inblandade måste vi ta hänsyn till tecken.

För multiplikation finns det två enkla regler:

Regel 1: Om man multiplicerar ett negativt tal och ett positivt tal, blir produkten negativ:

$$(-3)\cdot 4=-12$$

3 gånger 4 är ju 12, men eftersom vi har ett positivt och ett negativt tal blir svaret negativt och alltså -12.

Symboliskt skrivs det som:

$$(-a)\cdot b=-ab$$

där a och b är positiva tal (-a är alltså ett negativt tal).

Regel 2: Om man multiplicerar två negativa tal, blir produkten positiv.

$$(-3)\cdot (-4)=12$$

Nu är det två negativa tal som multipliceras och då tar minustecknen ut varandra och svaret blir positivt.

Symboliskt skrivs det som:

$$(-a)\cdot (-b)=ab$$

där a och b är positiva tal (-a och -b är alltså negativa tal).

KOM IHÅG! En minnesregel vid multiplikation är att om vi har ett jämnt antal minustecken (0, 2, 4...) så blir svaret positivt och har vi ett udda antal minustecken (1, 3, 5...) så blir produkten negativt.

När vi har kommit så här långt så kan vi klura ut hur vi gör med divisioner.

Ett sätt att kontrollera om man gjort rätt i en division, är att multiplicera nämnaren med kvoten. Är produkten av nämnaren och kvoten lika med täljaren, då har vi räknat rätt. Exempelvis kan vi ha att

$$\frac{12}{3}=4$$

För att se till att det är rätt kan vi multiplicera 3 (nämnaren) med 4 (kvoten) och får då produkten 12 (täljaren):

$$3\cdot 4=12$$

Nu tittar vi på en kvot med två negativa tal

$$\frac{-12}{-3}=?$$

För att vi ska få resultatet -12 i täljaren måste vi multiplicera nämnaren -3 med 4, det vill säga kvoten är 4.

$$\frac{-12}{-3}=4$$

Det här ger oss att kvoten av två negativa tal blir positiv

$$\frac{-a}{-b}=c$$

Vad händer då med kvoten om vi har ett positivt och ett negativt tal?

$$\frac{-12}{3}=?$$

För att vi ska få resultatet -12 i täljaren måste vi multiplicera närmnaren 3 med -4, det vill säga kvoten är -4.

$$\frac{-12}{3}=-4$$

Det här ger oss att kvoten av ett negativt tal och ett positivt tal är negativ. På samma sätt blir kvoten av ett positivt tal och ett negativt tal också negativ.

$$\\\frac{-a}{b}=-c$$

$$\frac{a}{-b}=-c$$


Sammanfattning av räkneregler för negativa tal

Vi avslutar avsnittet om negativa tal med att sammanfatta de räkneregler för negativa tal som vi kommit fram till:

$$a+(-b)=a-b$$

$$a-(-b)=a+b$$

$$ a-(b+c)=a-b-c$$

$$(-a)\cdot b=-ab$$

$$a\cdot (-b)=-ab$$

$$ (-a)\cdot(-b)=ab$$

$$\frac{-a}{b}=-c$$

$$\frac{a}{-b}=-c$$

$$\frac{-a}{-b}=c$$


Videolektion

Vi multiplicerar och dividerar olika positiva och negativa tal.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Negativa tal? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!