Kvadreringsreglerna

I det förra avsnittet gick vi igenom begreppet polynom och hur vi gör när vi multiplicerar två polynom. I det här avsnittet ska vi titta på två specialfall av multiplikation av polynom och formulera kvadreringsreglerna, som är räkneregler för just dessa två specialfall.

Binom

Vid multiplikation av polynom har vi tidigare tittat på hur produkten blir när vi multiplicerar två polynom som kan vara olika, men vad händer i specialfallet då vi multiplicerar två likadana polynom som båda består av två termer? Det är dessa specialfall som vi ska undersöka härnäst.

Eftersom det är denna typ av polynom som vi ska använda här, är det bra att känna till att ett polynom som enbart består av två termer kallas ett binom.

Första kvadreringsregeln

Vi ska först titta på ett exempel, där vi har ett binom, bestående av summan av två termer, som ska multipliceras med sig självt (alltså kvadreras).

Denna produkt beräknar vi på det sätt som vi gjorde i det förra avsnittet och får då detta:

$$(x+3)^2=(x+3)\cdot (x+3)=$$

$$=x\cdot x+x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=$$

$$=x^2+6x+3^2$$

Nu vet vi vad produkten blev i just detta exempel. Men vad händer i det mer allmänna fallet, då vi har ett uttryck (a + b) som ska kvadreras? Här kan a och b stå för variabeltermer, konstanttermer eller rent av polynom bestående av såväl variabeltermer som konstanttermer.

Vi testar att kvadrera detta allmänna uttryck:

$$(a+b)^2=(a+b)\cdot (a+b)=$$

$$=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a^2+2ab+b^2$$

Vad vi har kommit fram till här är det som kallas första kvadreringsregeln, som anger vad produkten blir om vi kvadrerar ett uttryck som består av summan av två termer a och b:

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Vi tittar på ett exempel

$$(3+2)^2=3^2+2\cdot3\cdot2+2^2$$

$$\\ VL: (3+2)^2=5^2=25 \\ HL: 3^2+2 \cdot 3 \cdot 2+2^2 = 9+12+4=25$$

I detta exempel är a=3 och b=2.

Andra kvadreringsregeln

Vad vi kom fram till ovan var alltså fallet där de två termerna i parentesuttrycket skulle summeras (de hade ett plustecken mellan sig). Nu ska vi se vad produkten blir om det uttryck som vi ska kvadrera utgörs av en differens (alltså att vi har två termer med ett minustecken mellan sig).

Återigen använder vi beteckningarna a och b för termerna i parentesuttrycket:

$$(a-b)^2=(a-b)\cdot (a-b)=$$

$$=a\cdot a-a\cdot b-b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a^2-2ab+b^2$$

Här har vi kommit fram till den andra kvadreringsregeln, som bestämmer vad produkten blir om vi kvadrerar ett uttryck bestående av differensen mellan två termer:

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Vi tittar på ett exempel

$$(3-2)^2=3^2-2\cdot3\cdot2+2^2$$

$$\\ VL: (3-2)^2=1^2=1 \\ HL: 3^2-2 \cdot 3 \cdot 2+2^2 = 9-12+4=1$$

I detta exempel är a=3 och b=2.

De båda kvadreringsreglerna är bra att lära sig utantill och lära sig att känna igen, för detta har vi mycket hjälp av till exempel när vi ska faktorisera polynom, vilket vi kommer att titta närmare längre fram i denna kurs.